Bonjour,
Quelqu'un pourrait m'aider avec ces exercices,
Exercice 1
Soit ( G,. ) un groupe fini d’élément neutre e. On dira qu’un élément d’un groupe est d’ordre 2 si x^2 = e et x =/= e
1.Soit x ∈ G tel que x^2 = e, vérifiez que {e,x} est un sous groupe de G
2.Démontrez que si G est d’ordre impair, il n’existe pas d’élément d’ordre 2
3.On rappelle qu’un groupe d’ordre pair admet au moins un élément d’ordre 2. Soit G un groupe abélien démontrer l’équivalence
x → x^2 est bijective ⇔ G est d′ordre impair
4.4. On suppose que G est commutatif et G = {x1,x2,...,xn}.on pose
n
A= ∏ xi (∏=produit)
i=1
(a) Montrer que A^2 = e
(b) Comment écrirait-on la dernière relation dans le cas d’une notation additive?
(c) Montrer que si G est d’ordre impair, A = e
(d) Donner un exemple de groupe tel que A =/= e
Exercice 2. Soit n ∈ Z.
Pour quelles valeurs de n l’application ϕn définie sur S3 par ϕn(x) = x^n est-elle bijective?
Indication : Si p(barre) = 0(barre) dans Z/6Z, que peut-on dire de ϕp?
Je vous remercie d'avance.
Structure algébrique: Groupes
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Alexandra25
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Re: Structure algébrique: Groupes
Bonjour
Exercice 1
1. $\{e,x\}$,n'est pas vide, contient l'élément neutre et $x\cdot x=e$ donc $x^{-1}=x$, tout élément a un symétrique, il s'agit donc d'un sous-groupe de $G$.
2. L'ordre d'un élément est un diviseur de l'ordre du groupe donc si $G$ est d'ordre impair , il ne" contient pas d'élément d'ordre 2.
3. Soit $f : x\mapsto x^2$
* Si $G$ est d'ordre pair alors il admet un élément d'ordre 2.
$\exists x\in G,\ x\neq e\ \ x^2=e=e^2$
Si $f$ est bijective, on en déduit $x=e$, en contradiction avec l'existence de $x$
Si $f$ est bijective, $G$ est donc d'ordre impair.
* Réciproque : soit $G$ d'ordre impair : $2m+1$
Soit $y\in G$, $(y^{m+1})^2=y^{2m+2}=y\cdot y^{2m+1}=y\cdot e=y$. Donc par $f$, $y$ a pour antécédent $y^{m+1}$
Tout élément a donc un antécédent, $f$ est donc surjective.
Une application surjective d'un ensemble fini dans lui=même est bijective.
4. a) Dans $A^2$, puisque $G$ est commutatif, on peut changer l'ordre des éléments et associer à chaque élément son symétrique (éventuellement lui même pour les éléments d'ordre 2), leur produit eqal égal à $e$ donc $A^2=\{e\}$
b) $A=\sum_{i=1}^n x_i$, $A+A=\{e\}$
c) Si $G$ est d'ordre impair , il n'existe pas d'élément d'ordre 2.
Si $x_i\neq e$ alors $ x_i^{-1}\neq x_i$. Dans $A$, on peut associer à chaque élément différent de $e$, son symétrique et le produit est donc égal à $e$ soit $A=\{e\}$
d) $G=S_2=\{Id , t\}$ alors $A=\{t\}$ et $A^2=\{Id\}$
Je traiterai ce soir l'exercice 2
Exercice 1
1. $\{e,x\}$,n'est pas vide, contient l'élément neutre et $x\cdot x=e$ donc $x^{-1}=x$, tout élément a un symétrique, il s'agit donc d'un sous-groupe de $G$.
2. L'ordre d'un élément est un diviseur de l'ordre du groupe donc si $G$ est d'ordre impair , il ne" contient pas d'élément d'ordre 2.
3. Soit $f : x\mapsto x^2$
* Si $G$ est d'ordre pair alors il admet un élément d'ordre 2.
$\exists x\in G,\ x\neq e\ \ x^2=e=e^2$
Si $f$ est bijective, on en déduit $x=e$, en contradiction avec l'existence de $x$
Si $f$ est bijective, $G$ est donc d'ordre impair.
* Réciproque : soit $G$ d'ordre impair : $2m+1$
Soit $y\in G$, $(y^{m+1})^2=y^{2m+2}=y\cdot y^{2m+1}=y\cdot e=y$. Donc par $f$, $y$ a pour antécédent $y^{m+1}$
Tout élément a donc un antécédent, $f$ est donc surjective.
Une application surjective d'un ensemble fini dans lui=même est bijective.
4. a) Dans $A^2$, puisque $G$ est commutatif, on peut changer l'ordre des éléments et associer à chaque élément son symétrique (éventuellement lui même pour les éléments d'ordre 2), leur produit eqal égal à $e$ donc $A^2=\{e\}$
b) $A=\sum_{i=1}^n x_i$, $A+A=\{e\}$
c) Si $G$ est d'ordre impair , il n'existe pas d'élément d'ordre 2.
Si $x_i\neq e$ alors $ x_i^{-1}\neq x_i$. Dans $A$, on peut associer à chaque élément différent de $e$, son symétrique et le produit est donc égal à $e$ soit $A=\{e\}$
d) $G=S_2=\{Id , t\}$ alors $A=\{t\}$ et $A^2=\{Id\}$
Je traiterai ce soir l'exercice 2
Re: Structure algébrique: Groupes
Exercice 2
$S_3=\{Id, t_1,t_2,t_3,c_1,c_2\}$ avec $c_1^2=c_2$ et $c_2^2=c_1$
Une transposition est d'ordre 2. Par conséquent l'image d'une transposition $t$ est soit $Id$ si $n$ est pair soit $t$ si $n$ est impair.
Un cycle est d'ordre 3 donc l'image d'un cycle $c$ est soit $Id$ si $n$ est multiple de 3, soit $c$ si $n=3p+1$ soit $c^2$ si $n=3p+2$
Donc, par l'application $\phi_n$, pour qu'une transposition ait un antécédent, il faut que $n$ soit impair, et pour qu'un cycle ait un antécédent, il faut que $n$ ne soit pas multiple de 3
$\phi_n$ est donc bijective si $n$ est impair non multiple de 3.
$S_3=\{Id, t_1,t_2,t_3,c_1,c_2\}$ avec $c_1^2=c_2$ et $c_2^2=c_1$
Une transposition est d'ordre 2. Par conséquent l'image d'une transposition $t$ est soit $Id$ si $n$ est pair soit $t$ si $n$ est impair.
Un cycle est d'ordre 3 donc l'image d'un cycle $c$ est soit $Id$ si $n$ est multiple de 3, soit $c$ si $n=3p+1$ soit $c^2$ si $n=3p+2$
Donc, par l'application $\phi_n$, pour qu'une transposition ait un antécédent, il faut que $n$ soit impair, et pour qu'un cycle ait un antécédent, il faut que $n$ ne soit pas multiple de 3
$\phi_n$ est donc bijective si $n$ est impair non multiple de 3.