barycentre et coordonnées dans une base particulière

[pidoro]

Bonjour,

je cherche à résoudre un exercice sur les enveloppes convexes, barycentre et demi-espaces.

Je viens de démontrer qu'un demi-espace contient l'enveloppe convexe (si ça peut aider).

Mon soucis est que je n'arrive pas à démontrer ceci :
"Pour tout t0,t1,...,tn vérifiant t0+t1+...+tn=1, un point M est le barycentre de (A0,t0),...(An,tn) si et seulement les coordonnées du vecteur A0M dans la base B=(A0A1, A0A2,...A0An) sont (t1, ..tn)."

Je ne comprends pas comment décrire un point dans la base B.

Pourriez-vous m'aider par quelques pistes ?

Merci

[Job]

Par définition, $M$ vérifie $\sum_{i=0}^n t_i\overrightarrow{MA_i}=\overrightarrow{0}$ soit $\sum_{i=0}^n t_i(\overrightarrow{MA_0}+\overrightarrow{A_0A_i})=\overrightarrow{0}$
$\sum_{i=0}^n t_i\overrightarrow{A_0A_i}=(\sum_{i=0}^n t_i)\overrightarrow{A_0M}$

$\sum_{i=0}^n t_i=1$ et $\overrightarrow{A_0A_0}=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{A_0M}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{A_0A_i}$