équation de droites

[pidoro]

Bonjour,

je cherche l'équation d'une droite D décrite par deux équations affines : a1x+b1y+c1z-d1=0 et a2x+b2y+c2z-d2 =0.

Je sais de plus dans l'énoncé que D passe par le point B(2,1,-1) et dirigée par le vecteur u (-4,1,1).

Une aide nous invite à déterminer d'abord les équations pour la droite vectorielle D' qui dirige D.

Je sais trouver l'équation de D' sur R2 mais je ne sais pas comment sur R3. Comment traduire dans l'équation de D' que D' est dirigée par un vecteur colinéaire à u ?

Merci de m'aider à résoudre ce problème !

[Job]

Bonjour

Tout d'abord, en dimension 3, une droite ne possède pas d'équation, on peut la définir soit par l'intersection de 2 plans affines (donc 2 équations) soit par une représentation paramétrique.

La droite vectorielle $D'$ est caractérisée par $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{u}\ (t\in {\mathbb R})$ soit $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{u}$ donc $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{u}\ (t\in {\mathbb R})$ qu'on écrit aussi $M=B+t\overrightarrow{u}\ (t\in {\mathbb R})$
On obtient alors une représentation paramétrique de $D$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&-4+2t\\ y&=&1+t\\z&=&1-t\end{array}\right.$ ($t\in {\mathbb R}$)

[pidoro]

Oui je sais obtenir une représentation paramétrique mais pas m'en servir pour trouver les deux équations de plans demandées dans l'énoncé.

auriez vous une idée ?

[Job]

Je n'avais pas compris la question.

Il y a une infinité de plans qui contiennent la droite $D$.
Une méthode pour en obtenir un : on considère un vecteur non colinéaire à $\overrightarrow{u}$, par exemple le vecteur $\overrightarrow{i}$ (1,0,0).
$(B,\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})$ est alors un plan affine qui contient la droite $D$.
Pour tout point $M(x,y,z)$, la famille de vecteurs $(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})$ est liée donc le déterminant est nul.
$\begin{vmatrix}x-2&-4&1\\y-1&1&0\\z+1&1&0\end{vmatrix}=0$ soit $(y-1)-(z+1)=0$
$y-z-2=0$ est l'équation d'un plan affine contenant $D$.

Il suffit de prendre un autre vecteur et on obtient de la même manière l'équation d'un autre plan affine contenant $D$.