théorie ensembliste

[nico033]

Bonjour ;

Pourriez vous m'aider à comprendre mon exercice , car je bloque totalement ....

Soit A, B , C trois parties d'un ensemble E. Démontrer l'assertion suivante:
A / B = A / C
B/A = C / A tout ceci équivaut à B = C

soit A , B , C et A', B' , C' six parties d'un ensemble E telles que
A inter B inter C = ensemble vide
A union B = A' union B'
B union C = B' union C'
C union A = C' union A'
A' inclus A , B' inclus B et C' inclus C
Montrer que A = A' , B = B' et C = C'

[Job]

Bonjour

Exercice 1
Méthode classique pour démontrer l'égalité de 2 ensembles : montrer la double inclusion.

Soit $x\in B$. 2 possibilités :
a) si $x\notin A$ alors $x\in B/A$ donc puisque $B/A=C/A$ alors $x\in C/A$ donc $x\in C$.
b) si $x\in A$, comme $x$ appartient alors à $A$ et à $B$, $x\notin A/B$ et par conséquent $x\notin A/C$
Dans ce cas, $x$ appartenant à $A$ mais n'appartenant pas à $A/C$ alors $x\in A\cap C$ donc $x\in C$

On a donc démontré que $B\subset C$.
On démontre de même que $C\subset B$ d'où l'égalité des 2 ensembles.

Exercice 2
Puisque $A'\subset A$, pour montrer l'égalité de $A$ et $A'$, il suffit de montrer que $A\subset A'$
Soit $x\in A$.
Puisque $A\cap B \cap C =\emptyset$ alors $x\notin B\cap C$
$B'\subset B$ et $C'\subset C$, $\Longrightarrow B'\cap C'\subset B\cap C$ donc $x\notin B'\cap C'$

$x\in A\cup B \Longrightarrow x\in A'\cup B'$ et $x\in A\cup C \Longrightarrow x\in A'\cup C'$
Si $x\notin A'$ alors $x\in B'$ et $x\in C'$ donc $x\in B'\cap C'$ en contradiction avec $x\notin B'\cap C'$ démontré plus haut.
Conclusion $x\in A'$ et on a donc démontré que $A\subset A'$

Les 2 autres égalités se démontrent de la même manière.

[nico033]

Bonjour;

Je vous remercie de votre aide