Bonjour!
Une question certainement élémentaire, mais dont je ne vois pas la subtilité:
Dans R^3, j'ai les vecteurs v(1,1,1) et x(3,2,1).
J'ai un ensemble E={(a,b,c) de R^3 tel que a-2b+c=0}
Pourquoi peut-on dire que E=Vect(v,x) ?
Famille de vecteurs
Re: Famille de vecteurs
Bonjour
Les vecteurs $v$ et $x$ vérifient $a-2b+c=0$ donc $Vect (v,x)\subset E$
Réciproquement : $(2b-c,b,c)=\alpha v+\beta x \Longleftrightarrow (2b-c,b,c)=(\alpha+3\beta, \alpha +2\beta,\alpha+\beta)$
Système qui a comme solutions $\alpha=2c-b$ et $\beta = b-c$
Donc $E\subset Vect(v,x)$
Pour éviter la seconde démonstration, on peut aussi remarquer que $a-2b+c=0$ caractérise un plan vectoriel donc de dimension 2. Les 2 espaces vectoriels étant de même dimension, une inclusion suffit.
Les vecteurs $v$ et $x$ vérifient $a-2b+c=0$ donc $Vect (v,x)\subset E$
Réciproquement : $(2b-c,b,c)=\alpha v+\beta x \Longleftrightarrow (2b-c,b,c)=(\alpha+3\beta, \alpha +2\beta,\alpha+\beta)$
Système qui a comme solutions $\alpha=2c-b$ et $\beta = b-c$
Donc $E\subset Vect(v,x)$
Pour éviter la seconde démonstration, on peut aussi remarquer que $a-2b+c=0$ caractérise un plan vectoriel donc de dimension 2. Les 2 espaces vectoriels étant de même dimension, une inclusion suffit.
Re: Famille de vecteurs
OK, merci!