Matrice diagonale

[Jon83]

Bonjour!
Dans un problème:
-J est la matrice {(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0)}
- g est un endomorphisme de C^4 dont j'ai trouvé que les valeurs propres sont l appartenant à {1,-1,i,-i} et les vecteurs propres sont
les 4 vecteurs de la forme e_l=(1,l,l^2,l^3)
- pour tout quadruplet A(a1,a2,a3,a4) de C^4 on note M_A=somme de k=1 à 4 de a_k.J^(k-1)
- f_A tel que f_A(e_l)=(a1+a2.l+a3.l^2+a4l^3).e_l
On demande d'en déduire que l'endomorphisme f_A est diagonalisable et de donner une matrice diagonale à laquelle M_A est semblable.

le vecteur propre de g associé à la valeur propre l appartenant à {1,-1,i,-i} est aussi un vecteur propre de f_A associé à la valeur propre a1+a2.l+a3.l^2+a4.l^3
Comme ces quatres vecteurs sont linéairement indépendants (puisque ce sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes) et C^4 est un espace de dimension 4 , on en déduit que ces quatres vecteurs forment une base de vecteurs propres de f_A.
Par contre, pour exprimer la matrice diagonale, je dois mettre ces vecteurs en position diagonale, mais j'ai a priori quatre possibilités....Comment choisir?

[Job]

Bonjour

À priori on peut utiliser n'importe quel ordre (cela fait même 24 possibilités) mais à chaque ordre correspond une matrice de passage différente.
Il faudrait éventuellement voir la suite du problème pour savoir si un ordre est privilégié.

[Jon83]

OK! Merci pour ta réponse...
24 possibilités car c'est une permutation de 4 valeurs? n=4!=24 ?