4)Une base est {(1,2,-2)} ou {(1/2,1,-1)}
Application linéaire4
Application linéaire4
Bonsoir,alors j'ai fais aussi cet exercice pour m’entraîner:
4)Une base est {(1,2,-2)} ou {(1/2,1,-1)}
4)Une base est {(1,2,-2)} ou {(1/2,1,-1)}
Re: Application linéaire4
Bonjour
4) Je suis d'accord jusque $\dim ( Im (f))=2$ mais on ne peut pas encolure que $Im (f) ={\mathbb R}^2$
A priori $f(x,y,z)=x(1,2,0)+y(-\frac{1}{2}, -1, 0) +z(0,0,1)$
Mais $(-\frac{1}{2},-1,0)=-\frac{1}{2} (1,2,0)$ donc $f(x,y,z)=(x-\frac{1}{2} y) (1,2,0)+z(0,0,1)$
Les vecteurs (1,2,0) et (0,0,1) sont linéairement indépendants donc $Im (f)=Vect \{(1,2,0) ,(0,0,1)\}$
5) a) Il faut montrer qu'il existe 2 réels $a$ et $b$ tels que $(1,2,-2)=a(1,2,0)+b(0,0,1)$
La réponse est quasi évidente : $a=1$ et $b=-2$
b) Puisque $\ker (f) \subset Im (f)$, $\ker (f)\cap Im (f) =\ker (f) \neq \{(0,0,0)\}$ donc $\ker (f)$ et $Im (f)$ ne sont pas supplémentaires.
4) Je suis d'accord jusque $\dim ( Im (f))=2$ mais on ne peut pas encolure que $Im (f) ={\mathbb R}^2$
A priori $f(x,y,z)=x(1,2,0)+y(-\frac{1}{2}, -1, 0) +z(0,0,1)$
Mais $(-\frac{1}{2},-1,0)=-\frac{1}{2} (1,2,0)$ donc $f(x,y,z)=(x-\frac{1}{2} y) (1,2,0)+z(0,0,1)$
Les vecteurs (1,2,0) et (0,0,1) sont linéairement indépendants donc $Im (f)=Vect \{(1,2,0) ,(0,0,1)\}$
5) a) Il faut montrer qu'il existe 2 réels $a$ et $b$ tels que $(1,2,-2)=a(1,2,0)+b(0,0,1)$
La réponse est quasi évidente : $a=1$ et $b=-2$
b) Puisque $\ker (f) \subset Im (f)$, $\ker (f)\cap Im (f) =\ker (f) \neq \{(0,0,0)\}$ donc $\ker (f)$ et $Im (f)$ ne sont pas supplémentaires.
Re: Application linéaire4
Ah,moi qui pensais que si dim Im(f)=2,Im(f) toujours égale à R^2 ben là ce n'est pas le cas...
Je vais revoir le cours,ce point,ta démonstration est clair,mais je serais moins sûr quand je calculerai Im(f)^^.
Je vais revoir le cours,ce point,ta démonstration est clair,mais je serais moins sûr quand je calculerai Im(f)^^.
Re: Application linéaire4
Sans vouloir te déranger,dans cet exercice tu a prouver que Im(f)=Vect{(1,2,0),(0,0,1)} différent de R^2,et que dim.Im(f)=2 ce que je comprend car on a deux vecteur.
Mais j'aimerai savoir quand on est obligé de faire les calcul que tu fais,pour trouvé Im(f) et quand on dis simplement que Im(f)=R^2 si dim.Im(f)=2.
Par exemple içi: "Soit f:R¨3->R¨3 ,définie par f(x,y,z)=(x,x+y,x+y+z)."
On avait dit que Im(f)=R^3 car dim(Im(f))=3.
Mais j'aimerai savoir quand on est obligé de faire les calcul que tu fais,pour trouvé Im(f) et quand on dis simplement que Im(f)=R^2 si dim.Im(f)=2.
Par exemple içi: "Soit f:R¨3->R¨3 ,définie par f(x,y,z)=(x,x+y,x+y+z)."
On avait dit que Im(f)=R^3 car dim(Im(f))=3.
Re: Application linéaire4
$f$ est une application linéaire de ${\mathbb R}^3$ dans ${\mathbb R}^3$ donc les images des vecteurs de ${\mathbb R}^3$ sont des triplets de réels et donc $Im (f)\subset {\mathbb R}^3$
Si on avait eu $\dim (f)=3$ alors étant donné que $\dim (f)=\dim ({\mathbb R}^3)$ et l'inclusion au-dessus, on aurait eu $Im (f)={\mathbb R}^3$.
Si un sous-espace vectoriel est inclus dans un espace vectoriel de même dimension alors il y a égalité.
Ici, $\dim (f) =2$. $Im (f)$ ne peut pas être égal à ${\mathbb R}^2$ car les éléments de ${\mathbb R}^2$ sont des couples de réels et non des triplets de réels.
Si on avait eu $\dim (f)=3$ alors étant donné que $\dim (f)=\dim ({\mathbb R}^3)$ et l'inclusion au-dessus, on aurait eu $Im (f)={\mathbb R}^3$.
Si un sous-espace vectoriel est inclus dans un espace vectoriel de même dimension alors il y a égalité.
Ici, $\dim (f) =2$. $Im (f)$ ne peut pas être égal à ${\mathbb R}^2$ car les éléments de ${\mathbb R}^2$ sont des couples de réels et non des triplets de réels.
Re: Application linéaire4
Ah ok! je comprends mieux merci 