Bonjour;
Je n'arrive pas du tout à comprendre la correction des intégrales que j'ai eu à faire pour aujourd'hui ;
Pourriez vous m'aider à les comprendre en m'expliquant les différentes étapes de celle ci , car notre prof à été je trouve assez rapide;
double integrale dxdy / rac (x^2+y2) et il faut que y supérieur à 0 , et x^2+y^2 - 2x inférieur ou égale à 0
double intégrale dxdy / (x^2+y^2+xy) et il faut que 4 < x^2 + y^2 < 16
triple intégrale xdxdydz avec x, y, z supérieur ou égale à 0 , x+y+z inférieur ou égale à 1
double intégrale (sin x) / (pi - x - y) dxdydz avec x, y, z supérieur ou égal à 0 , x +y+z inférieur ou égale à pi
sujet double / triple intégrale
Re: sujet double / triple intégrale
Pour la dernière c'est une triple intégrale , pardonnez moi .....
Re: sujet double / triple intégrale
Bonjour
Je présume que vous les avez traitées avec des changements de variables ?
Je présume que vous les avez traitées avec des changements de variables ?
Re: sujet double / triple intégrale
Bonjour
Je traite les intégrales triples qui se font sans changements de variables.
c) $I=\iiint_D x\ dx\ dy\ dz$ , le domaine étant défini par $\left\{\begin{array}{rcl}0&\leq& x &\leq&1\\ 0&\leq& y &\leq& 1-x \\ 0&\leq& z &\leq& 1-x-y\end{array}\right.$
On peut écrire : $I=\int_0^1\Big[\int_0^{1-x}\big(\int_0^{1-x-y}x\ dz\big)\ dy\Big]\ dx$
On commence par calculer par l'intérieur : $x$ et $y$ sont fixés, $z$ est la variable d'intégration.
$\int_0^{1-x-y}x\ dz=x\int_0^{1-x-y} dz =x\big[z\big]_0^{1-x-y}=x(1-x-y)=x-x^2-xy$
A l'étape suivante, $x$ est fixé, $y$ est la variable d'intégration
$\int_0^{1-x}(x-x^2-xy)\ dy =\big[xy -x^2y-\frac{1}{2} xy^2\big]_0^{1-x}=x(1-x)-x^2(1-x)-\frac{1}{2} x (1-x)^2=\frac{1}{2} x -x^2+\frac{1}{2} x^3$
Dernière étape : $I=\int_0^1(\frac{1}{2} x-x^2+\frac{1}{2} x^3)\ dx =\big[\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{8}x^4\big]_0^1=\frac{1}{4} -\frac{1}{3} +\frac{1}{8} =\frac{1}{24}$
d) $I=\iiint_D\frac{\sin x}{\pi-x-y} \ dx\ dy\ dz$, le domaine étant défini par $\left\{\begin{array}{rcl}0&\leq&x&\leq&\pi\\0&\leq&y&\leq&\pi-x\\0&\leq&z&\leq&\pi -x-y\end{array}\right.$
$I=\int_0^{\pi}\Big[\int_0^{\pi -x}\big(\int_0^{\pi -x-y} \frac{\sin x}{\pi -x-y} dz\big)\ dy \Big]\ dx$
Même méthode que pour la précédente.
$\int_0^{\pi -x-y} \frac{\sin x}{\pi -x-y} dz=\frac{\sin x}{\pi -x-y}\int_0^{\pi - x-y} dz=\frac{\sin x}{\pi -x-y}\big[z\big]_0^{\pi -x-y}=\sin x$
$\int_0^{\pi -x} \sin x\ dy=\sin x \int_0^{\pi -x} dy =\sin x \big[y \big]_0^{\pi -x}=\sin x (\pi -x)=\pi \sin x -x\sin x$
$\int_0^{\pi} (\pi \sin x-x\sin x) dx =\int_0^{\pi}\pi \sin x\ dx -\int_0^{\pi} x\sin x\ dx$
$\int_0^{\pi} \pi \sin x\ dx =[-\pi \cos x]_0^{\pi}=2\pi$
$\int_0^{\pi} x\sin x\ dx$ se calcule avec une intégration par parties :
$\int_0^{\pi} x\sin x\ dx=[-x\cos x]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} -\cos x\ dx =\pi +[\sin x]_0^{\pi}=\pi$
Donc $I=2\pi -\pi =\pi$
Pour les intégrales doubles, j'attends la confirmation que vous avez bien vu le passage en coordonnées polaires.
Je traite les intégrales triples qui se font sans changements de variables.
c) $I=\iiint_D x\ dx\ dy\ dz$ , le domaine étant défini par $\left\{\begin{array}{rcl}0&\leq& x &\leq&1\\ 0&\leq& y &\leq& 1-x \\ 0&\leq& z &\leq& 1-x-y\end{array}\right.$
On peut écrire : $I=\int_0^1\Big[\int_0^{1-x}\big(\int_0^{1-x-y}x\ dz\big)\ dy\Big]\ dx$
On commence par calculer par l'intérieur : $x$ et $y$ sont fixés, $z$ est la variable d'intégration.
$\int_0^{1-x-y}x\ dz=x\int_0^{1-x-y} dz =x\big[z\big]_0^{1-x-y}=x(1-x-y)=x-x^2-xy$
A l'étape suivante, $x$ est fixé, $y$ est la variable d'intégration
$\int_0^{1-x}(x-x^2-xy)\ dy =\big[xy -x^2y-\frac{1}{2} xy^2\big]_0^{1-x}=x(1-x)-x^2(1-x)-\frac{1}{2} x (1-x)^2=\frac{1}{2} x -x^2+\frac{1}{2} x^3$
Dernière étape : $I=\int_0^1(\frac{1}{2} x-x^2+\frac{1}{2} x^3)\ dx =\big[\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{8}x^4\big]_0^1=\frac{1}{4} -\frac{1}{3} +\frac{1}{8} =\frac{1}{24}$
d) $I=\iiint_D\frac{\sin x}{\pi-x-y} \ dx\ dy\ dz$, le domaine étant défini par $\left\{\begin{array}{rcl}0&\leq&x&\leq&\pi\\0&\leq&y&\leq&\pi-x\\0&\leq&z&\leq&\pi -x-y\end{array}\right.$
$I=\int_0^{\pi}\Big[\int_0^{\pi -x}\big(\int_0^{\pi -x-y} \frac{\sin x}{\pi -x-y} dz\big)\ dy \Big]\ dx$
Même méthode que pour la précédente.
$\int_0^{\pi -x-y} \frac{\sin x}{\pi -x-y} dz=\frac{\sin x}{\pi -x-y}\int_0^{\pi - x-y} dz=\frac{\sin x}{\pi -x-y}\big[z\big]_0^{\pi -x-y}=\sin x$
$\int_0^{\pi -x} \sin x\ dy=\sin x \int_0^{\pi -x} dy =\sin x \big[y \big]_0^{\pi -x}=\sin x (\pi -x)=\pi \sin x -x\sin x$
$\int_0^{\pi} (\pi \sin x-x\sin x) dx =\int_0^{\pi}\pi \sin x\ dx -\int_0^{\pi} x\sin x\ dx$
$\int_0^{\pi} \pi \sin x\ dx =[-\pi \cos x]_0^{\pi}=2\pi$
$\int_0^{\pi} x\sin x\ dx$ se calcule avec une intégration par parties :
$\int_0^{\pi} x\sin x\ dx=[-x\cos x]_0^{\pi}-\int_0^{\pi} -\cos x\ dx =\pi +[\sin x]_0^{\pi}=\pi$
Donc $I=2\pi -\pi =\pi$
Pour les intégrales doubles, j'attends la confirmation que vous avez bien vu le passage en coordonnées polaires.