matrice inverse

[nico033]

Bonjour,

Pourriez vous m'expliquer comment vérifier que deux matrices sont inversibles , et de calculer sa matrice inverse ?

A = (3 1 1 ; 2 -1 1 ; -1 1 -2)

B = (1 2 -3 ; 2 3 1 ; 4 -1 2)

C = (a b c d)

D = (-2 -3 5 6)

Déterminer si les matrices ci dessus sont inversibles ? et dans ce cas , déterminer sa matrice inverse

[Job]

Il y a différentes méthodes possibles. Quelle méthode as-tu vue en cours ? Utilisation du pivot de Gauss ou autre ?

[nico033]

Bonjour;

J'ai vu par la méthode de CRAMER ou bien par la méthode des cofacteurs d'après mon cours

[Job]

1) $det (A)=3\begin{vmatrix}-1&1\\1&-2\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=3\times 1 -2(-3)-2=7\neq 0$ donc $A$ est inversible.

On établit la matrice des cofacteurs
$A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}-1&1\\1&-2\end{vmatrix}=1$
$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\-1&-2\end{vmatrix}=3$
$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&-1\\-1&1\end{vmatrix}=1$
Et ainsi de suite.
On obtient comme matrice des cofacteurs : $\left(\begin{matrix}1&3&1\\3&-5&-4\\2&-1&-5\end{matrix}\right)$
$A^{-1}=\frac{1}{det (A)}$ que multiplie la transposée de la matrice des cofacteurs.

$A^{-1}=\frac{1}{7} \left(\begin{matrix}1&3&2\\3&-5&-1\\1&-4&-5\end{matrix}\right)$

2) Pour $B$, cela se traite de la même manière, je te laisse essayer de le faire. Voilà ce que tu dois obtenir :
$det(B)=49$ et $B^{-1}=\frac{1}{49}\left(\begin{matrix}7&-1&11\\0&14&-7\\-14&9&-1\end{matrix}\right)$
Si tu n'y arrives pas, essaie de préciser ce qui coince.

3) $det (C)=ad-bc$. La matrice est inversible si $ad-bc\neq 0$
Matrice des cofacteurs : $\left(\begin{matrix}d&-c\\-b&a\end{matrix}\right)$
Si $ad-bc\neq 0,\ C^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix} \right)$

4) On applique le résultat de $C$ : $D^{-1} =\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}6&3\\-5&-2\end{matrix} \right)$

[nico033]

Bonsoir;

Merci de votre retour . Le prof nous a rajouté une question concernant cet exercice la voici :

Déduire de ce qui précède la résolution des systèmes d'équations suivants:

s1: 3x+y+z = 28 2x-y+z = 2 -x + y - 2z = -3

s2: x +2y - 3z = 15 2x + 3y + z = 21 4x - y + 2z = -7

Retrouver les solutions des systèmes d'équations (S1) et (S2) par la méthode du pivot de GAUSS

[Job]

Bonjour

1)a) Cela revient à trouver l'antécédent de (28 , 2, -3). On multiplie $A^{-1}$ par $\left(\begin{matrix} 28\\ 2\\ -3\end{matrix}\right)$ on obtient $\left(\begin{matrix}4\\11\\5\end{matrix}\right)$ . Donc $S=\{(4,11,5)\}$
b) $B^{-1}\left(\begin{matrix}15\\21\\-7\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\\ 7\\ -\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$ donc $S=\{(\frac{1}{7} , 7, -\frac{2}{7})\}$

2) a) Pour des calculs plus commodes, on multiplie les termes de la troisième équation par (-1) et on permute les équations 1 et 3.
$\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\2x-y+z&=&2\\3x+y+z&=&28\end{array}\right.$
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\y-3 z&=&-4\\4y-5z&=&19\end{array}\right.$
$L_3\leftarrow L_3-4L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\y-3 z&=&-4\\7z&=&35\end{array}\right.$
$z=5$ ; $y=3z-4=11$ ; $x=y-2z+3=4$

b) $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-4L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\-y+7z&=&-9\\-9y+14z&=&-67\end{array}\right.$

On multiplie les termes de la seconde équation par (-1) : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\y-7z&=&9\\-9y+14z&=&-67\end{array}\right.$
$L_3\leftarrow L_3+9L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\y-7z&=&9\\-49z&=&14\end{array}\right.$
$z=-\frac{14}{49} =-\frac{2}{7}$ ; $y=7z+9=7$ ; $x=-2y+3z-+15=\frac{1}{7}$

[nico033]

Bonjour;

Je vous remercie bcp ! je vais m'y pencher cette après midi