matrice inverse
matrice inverse
Bonjour,
Pourriez vous m'expliquer comment vérifier que deux matrices sont inversibles , et de calculer sa matrice inverse ?
A = (3 1 1 ; 2 -1 1 ; -1 1 -2)
B = (1 2 -3 ; 2 3 1 ; 4 -1 2)
C = (a b c d)
D = (-2 -3 5 6)
Déterminer si les matrices ci dessus sont inversibles ? et dans ce cas , déterminer sa matrice inverse
Pourriez vous m'expliquer comment vérifier que deux matrices sont inversibles , et de calculer sa matrice inverse ?
A = (3 1 1 ; 2 -1 1 ; -1 1 -2)
B = (1 2 -3 ; 2 3 1 ; 4 -1 2)
C = (a b c d)
D = (-2 -3 5 6)
Déterminer si les matrices ci dessus sont inversibles ? et dans ce cas , déterminer sa matrice inverse
Re: matrice inverse
Il y a différentes méthodes possibles. Quelle méthode as-tu vue en cours ? Utilisation du pivot de Gauss ou autre ?
Re: matrice inverse
Bonjour;
J'ai vu par la méthode de CRAMER ou bien par la méthode des cofacteurs d'après mon cours
J'ai vu par la méthode de CRAMER ou bien par la méthode des cofacteurs d'après mon cours
Re: matrice inverse
1) $det (A)=3\begin{vmatrix}-1&1\\1&-2\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=3\times 1 -2(-3)-2=7\neq 0$ donc $A$ est inversible.
On établit la matrice des cofacteurs
$A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}-1&1\\1&-2\end{vmatrix}=1$
$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\-1&-2\end{vmatrix}=3$
$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&-1\\-1&1\end{vmatrix}=1$
Et ainsi de suite.
On obtient comme matrice des cofacteurs : $\left(\begin{matrix}1&3&1\\3&-5&-4\\2&-1&-5\end{matrix}\right)$
$A^{-1}=\frac{1}{det (A)}$ que multiplie la transposée de la matrice des cofacteurs.
$A^{-1}=\frac{1}{7} \left(\begin{matrix}1&3&2\\3&-5&-1\\1&-4&-5\end{matrix}\right)$
2) Pour $B$, cela se traite de la même manière, je te laisse essayer de le faire. Voilà ce que tu dois obtenir :
$det(B)=49$ et $B^{-1}=\frac{1}{49}\left(\begin{matrix}7&-1&11\\0&14&-7\\-14&9&-1\end{matrix}\right)$
Si tu n'y arrives pas, essaie de préciser ce qui coince.
3) $det (C)=ad-bc$. La matrice est inversible si $ad-bc\neq 0$
Matrice des cofacteurs : $\left(\begin{matrix}d&-c\\-b&a\end{matrix}\right)$
Si $ad-bc\neq 0,\ C^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix} \right)$
4) On applique le résultat de $C$ : $D^{-1} =\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}6&3\\-5&-2\end{matrix} \right)$
On établit la matrice des cofacteurs
$A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}-1&1\\1&-2\end{vmatrix}=1$
$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\-1&-2\end{vmatrix}=3$
$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&-1\\-1&1\end{vmatrix}=1$
Et ainsi de suite.
On obtient comme matrice des cofacteurs : $\left(\begin{matrix}1&3&1\\3&-5&-4\\2&-1&-5\end{matrix}\right)$
$A^{-1}=\frac{1}{det (A)}$ que multiplie la transposée de la matrice des cofacteurs.
$A^{-1}=\frac{1}{7} \left(\begin{matrix}1&3&2\\3&-5&-1\\1&-4&-5\end{matrix}\right)$
2) Pour $B$, cela se traite de la même manière, je te laisse essayer de le faire. Voilà ce que tu dois obtenir :
$det(B)=49$ et $B^{-1}=\frac{1}{49}\left(\begin{matrix}7&-1&11\\0&14&-7\\-14&9&-1\end{matrix}\right)$
Si tu n'y arrives pas, essaie de préciser ce qui coince.
3) $det (C)=ad-bc$. La matrice est inversible si $ad-bc\neq 0$
Matrice des cofacteurs : $\left(\begin{matrix}d&-c\\-b&a\end{matrix}\right)$
Si $ad-bc\neq 0,\ C^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix} \right)$
4) On applique le résultat de $C$ : $D^{-1} =\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}6&3\\-5&-2\end{matrix} \right)$
Re: matrice inverse
Bonsoir;
Merci de votre retour . Le prof nous a rajouté une question concernant cet exercice la voici :
Déduire de ce qui précède la résolution des systèmes d'équations suivants:
s1: 3x+y+z = 28 2x-y+z = 2 -x + y - 2z = -3
s2: x +2y - 3z = 15 2x + 3y + z = 21 4x - y + 2z = -7
Retrouver les solutions des systèmes d'équations (S1) et (S2) par la méthode du pivot de GAUSS
Merci de votre retour . Le prof nous a rajouté une question concernant cet exercice la voici :
Déduire de ce qui précède la résolution des systèmes d'équations suivants:
s1: 3x+y+z = 28 2x-y+z = 2 -x + y - 2z = -3
s2: x +2y - 3z = 15 2x + 3y + z = 21 4x - y + 2z = -7
Retrouver les solutions des systèmes d'équations (S1) et (S2) par la méthode du pivot de GAUSS
Re: matrice inverse
Bonjour
1)a) Cela revient à trouver l'antécédent de (28 , 2, -3). On multiplie $A^{-1}$ par $\left(\begin{matrix} 28\\ 2\\ -3\end{matrix}\right)$ on obtient $\left(\begin{matrix}4\\11\\5\end{matrix}\right)$ . Donc $S=\{(4,11,5)\}$
b) $B^{-1}\left(\begin{matrix}15\\21\\-7\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\\ 7\\ -\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$ donc $S=\{(\frac{1}{7} , 7, -\frac{2}{7})\}$
2) a) Pour des calculs plus commodes, on multiplie les termes de la troisième équation par (-1) et on permute les équations 1 et 3.
$\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\2x-y+z&=&2\\3x+y+z&=&28\end{array}\right.$
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\y-3 z&=&-4\\4y-5z&=&19\end{array}\right.$
$L_3\leftarrow L_3-4L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\y-3 z&=&-4\\7z&=&35\end{array}\right.$
$z=5$ ; $y=3z-4=11$ ; $x=y-2z+3=4$
b) $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-4L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\-y+7z&=&-9\\-9y+14z&=&-67\end{array}\right.$
On multiplie les termes de la seconde équation par (-1) : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\y-7z&=&9\\-9y+14z&=&-67\end{array}\right.$
$L_3\leftarrow L_3+9L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\y-7z&=&9\\-49z&=&14\end{array}\right.$
$z=-\frac{14}{49} =-\frac{2}{7}$ ; $y=7z+9=7$ ; $x=-2y+3z-+15=\frac{1}{7}$
1)a) Cela revient à trouver l'antécédent de (28 , 2, -3). On multiplie $A^{-1}$ par $\left(\begin{matrix} 28\\ 2\\ -3\end{matrix}\right)$ on obtient $\left(\begin{matrix}4\\11\\5\end{matrix}\right)$ . Donc $S=\{(4,11,5)\}$
b) $B^{-1}\left(\begin{matrix}15\\21\\-7\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\\ 7\\ -\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$ donc $S=\{(\frac{1}{7} , 7, -\frac{2}{7})\}$
2) a) Pour des calculs plus commodes, on multiplie les termes de la troisième équation par (-1) et on permute les équations 1 et 3.
$\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\2x-y+z&=&2\\3x+y+z&=&28\end{array}\right.$
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\y-3 z&=&-4\\4y-5z&=&19\end{array}\right.$
$L_3\leftarrow L_3-4L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x-y+2z&=&3\\y-3 z&=&-4\\7z&=&35\end{array}\right.$
$z=5$ ; $y=3z-4=11$ ; $x=y-2z+3=4$
b) $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-4L_1$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\-y+7z&=&-9\\-9y+14z&=&-67\end{array}\right.$
On multiplie les termes de la seconde équation par (-1) : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\y-7z&=&9\\-9y+14z&=&-67\end{array}\right.$
$L_3\leftarrow L_3+9L_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&15\\y-7z&=&9\\-49z&=&14\end{array}\right.$
$z=-\frac{14}{49} =-\frac{2}{7}$ ; $y=7z+9=7$ ; $x=-2y+3z-+15=\frac{1}{7}$
Re: matrice inverse
Bonjour;
Je vous remercie bcp ! je vais m'y pencher cette après midi
Je vous remercie bcp ! je vais m'y pencher cette après midi