système équation

[nico033]

Bonjour;
Voici deux systèmes qu'il faut résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre a (je n'arrive pas bien à comprendre ) ;

S1 2x + 3y = 5 et (a+1)x + y = 2

S2 ax + 2y = 1 et ax + ay = a - 1

[Job]

Bonjour

La méthode est-elle imposée ? Par exemple pivot de Gauss ?

[Job]

1) Première méthode
De la première équation, on tire $y=-\frac{2}{3} x +\frac{5}{3}$
On remplace dans la seconde équation :
$(a+1)x+(-\frac{2}{3} x +\frac{5}{3})=2$
$(a+\frac{1}{3})x =\frac{1}{3} $
* Si $a\neq -\frac{1}{3},\ x=\frac{\frac{1}{3}}{a+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3a+1}$ et $y=-\frac{2}{3} \times \frac{1}{3a+1}+\frac{5}{3}=\frac{-2+5(3a+1)}{3(3a+1}=\frac{15a+3}{3(3a+1)}=\frac{5a+1}{3a+1}$
* Si $a=-\frac{1}{3}$; on obtient $0x=\frac{1}{3}$ donc le système n'a pas de solution.

2) Autre méthode
On obtient un système équivalent en conservant la première équation et en soustrayant la première de la seconde.
$\left\{\begin{array}{rcl}ax+2y&=&1\\(a-2)y&=&a-2\end{array}\right.$. On a alors 2 sous-cas :
* Si $a\neq 2$ $\left\{\begin{array}{rcl}ax+2y&=&1\\ y&=&1\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}ax&=&-1\\y&=&1\end{array}\right.$
$\ \ \ * Si\ a\neq 0,\ x=-\frac{1}{a}$ donc solution du système $(-\frac{1}{a},1)$
$\ \ \ * Si\ a=0$, le système n'a pas de solution.
* Si $a=2$, on obtient le système $\left\{\begin{array}{rcl}2x+2y&=&1\\0y&=&0\end{array}\right.$
On peut donner à $y$ n'importe quelle valeur mais on a $x=\frac{1-2y}{2}$
$S=\{(\frac{1-2t}{2},t),\ t\in {\mathbb R}\}$