Application linéaire 3

[youcef-ait]

Bonjour $Job$,

J'essaye de me servir de toutes les indications que vous me donnez dans les posts précédents pour avancer, mais j'ai l'impression que plus j'avance et plus c'est différent..



1. En faisant : combinaison linéaire = 0 $\Longleftrightarrow$ on trouve que les coefficients = 0, donc système libre.
Par contre pour générateur j'ai un peu plus de mal car je n'ai pas d'indications sur l'espace, donc je peux dire qu'il est libre et qu'il peut générer des vecteurs de $dim E = 4$ ?


2. Ici je calcule donc les images de chacun des éléments constituants la base $S$ :

$f (e_0)=f (1)=0=0$
$f (e_1)=f (x)=1=e_0$
$f (e_2)=f (e^x)=e^x=e_2$
$f (e_3)=f (xe^x)=e^x+xe^x=e_2 + e_3$

Et j'ai traduit cette matrice :

$Mat(f)=\left(\begin{matrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&1\end{matrix}\right)$

3. Je ne sais pas comment l'appliquer ici, j'ai pensé à une multiplication de matrice, mais je ne vois pas comment faire le lien entre la $2.$ et la $3.$

Edit :

Pour la question 3, j'ai juste à lire les chacune des lignes pour trouver les coefficients de la dérivé ? Je trouve :

$g'(x) = 2 + 4e^x + 4e^x + 4xe^x = 2 + 8e^x + 4xe^x$

[Job]

1) $E$ est l'espace vectoriel des fonctions réelles, engendré par $S$ par conséquent, par construction, $S$ est un système générateur. Il y avait donc seulement à montrer que $S$ est libre.

2) Les calculs sont bons mais la matrice est incorrecte : les coordonnées de $f(e_0)$ constituent la première colonne, ceux de $f(e_1)$ la seconde colonne et ainsi de suite.
$M=\left(\begin{matrix}0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \\ 0&0&1&1\\0&0&0&1\end{matrix}\right)$

3) Les coordonnées de $g$ dans la base $S$ sont (3 , 2 , 4 , 4). Pour obtenir les coordonnées de $f(g)$ dans la base $S$, on multiplie la matrice $M$ par le vecteur (3 , 2 , 4 , 4)
$\left(\begin{matrix}0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \\ 0&0&1&1\\0&0&0&1\end{matrix}\right) \cdot \ \left(\begin{matrix}3\\ 2\\ 4\\ 4\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}2\\ 0 \\ 8\\ 4\end{matrix}\right)$
(On retrouve ce qu'on peut obtenir directement)