Application linéaire 2

[youcef-ait]

Rebonjour $Job$,

Je vous remercie pour vos explications précédentes, je commence à mieux cerner le sujet.



1.

Je pense que ce sont des choses évidentes, les 2 systèmes sont libres et leurs dimensions sont respectivement ceux de $R^2$ et $R^3$ donc ce sont bien des bases.


2.

Donc pour écrire les matrices, j'ai compris qu'il fallait calculer les images de chacun des éléments de chacune des bases, donc pour $B$ :

$g(e_{1})$ $=$ $(1 , 1 , 2)$
$g(e_{2})$ $=$ $(1 , 2 , 2)$

Donc la matrice est :

$Mat(g_{B})=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\\2&2\end{matrix}\right)$

Bon j'ai un doute que ce soit ça.

Pour $B'$ je ne vois pas comment l'écrire car j'ai une 3ième variable dans les expressions de $f_{i}$

[Job]

Bonjour youcef-ait

1) Pour $B$, je suis d'accord que c'est évident que les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires puisque la seconde coordonnée de $e_1$ est nulle mais ce n'est pas le cas pour $e_2$.
Par contre pour $B'$ je ne trouve pas que c'est tout à fait évident. Je crois qu'il faut démontrer proprement qu'il s'agit d'une famille libre.

2) La matrice que vous avez écrite est celle de $g$ par rapport à la base $B$ et à la base canonique de ${\mathbb R}^3$.
Pour répondre à la question, il faut donc exprimer $g(e_1)$ et $g(e_2)$ par rapport à $(f_1,f_2,f_3)$
On cherche $(a,b,c)$ tel que $g(e_1)=af_1+bf_2+cf_3=(a+c, b+c,c)$ soit $(1,1,2)=(a+c,b+c,c)$, ce qui donne $a=b=-1,\ c=2$
De même $g(e_2)=(1,2,2)=af_1+bf_2+cf_3=(a+c,b+c,c)$ donne $a=-1,\ b=0, c=2$
La matrice cherchée est donc $\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&0\\2&2\end{matrix}\right)$