Application linéaire

[youcef-ait]

Bonjour $Job$,

Alors on a changé de chapitre un peu rapidement, j'ai demandé à avoir la feuille d'exercices en avance pour pouvoir jeter un œil. Je vous montre le premier exercice :



J'aimerai que vous m'aidiez de la même façon que les espaces vectoriels, j'ai préféré suivre vos explications que ceux vues en classe car je les ai mieux assimilées.

Pour l'instant on a vu simplement ceci :

$f$ : $E \longrightarrow\ F$
$\quad x \longmapsto f(x) $

$f$ linéaire $\Longleftrightarrow$ $\forall$$(x,y)\in E^{2}$ et $\forall$$(\alpha; \beta)\in R^{2}$

$f(\alpha x + \beta y)$ $=$ $\alpha f(x) + \beta f(y)$


Exercice 1 :

1. Pour montrer que $\varphi$ est une application linéaire, je prends $(Q,R)\in P_{2}$ et $(\alpha; \beta)\in R^{2}$

$f(\alpha Q + \beta R)$ $=$ $x(\alpha Q' + \beta R') + (\alpha Q + \beta R)$
$f(\alpha Q + \beta R)$ $=$ $x\alpha Q' + \alpha Q + x\beta R' + \beta R$
$f(\alpha Q + \beta R)$ $=$ $\alpha (xQ' + Q) + \beta (xR' + R)$
$f(\alpha Q + \beta R)$ $=$ $\alpha f(Q) + \beta f(R)$


2. $\bullet$ J'ai regardé sur internet, ce qu'on appelle le noyau de $f$, c'est le $Ker (f)$ et :

$Ker (f)$ $=$ { $x \in E \ /\ f(x) = 0$ }

Soit $P \in P_{2}$ et $(a \ , b \ , c)\in R^3$ avec $P(x) = ax² + bx + c$

$f(P) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $xP' + P = 0$
$f(P) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $3ax² + 2bx + c = 0$

Je prends une base canonique $(e_{2} , e_{1} , e_{0})$ de l'ensemble image qui est le même $P_{2}$, qui est aussi une famille libre donc :
$f(P) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $3ae_{2} + 2be_{1} + c\,e_{0} = 0$

$\left\{ \begin{array}{r c l}
a &=& 0\\
b &=& 0\\
c &=& 0 \end{array}
\right.$

Le noyau de $\varphi$ est le polynôme nul ?


$\bullet $ Concernant $Im (f)$, je lis des choses sur internet et il est dit qu'en général on cherche plutôt une base de $Im (f)$, donc il n'est pas possible de trouver $Im (f)$ ici ?


Après pour les questions qui suivent j'en ai aucune idée...

J'attendrai vos réponses et si vous avez une manière plus simple ou un cas général que je pourrai appliquer pour répondre à ces questions, je suis preneur.
Merci à vous $Job$.

[Job]

Bonjour youcef-ait

Tout ce que vous avez fait est correct mais pour la recherche du noyau, il n'était pas utile d'utiliser la base canonique.
Puisque $\varphi (ax^2+bx+c)=3ax^2+2bx +c$, $\varphi (x)$ est le polynôme nul si et seulement si $\left\{ \begin{array}{rcl} 3a&=&0\\ 2b&=&0\\ c&=&0\end{array}\right.$
Donc $\ker(\varphi)$ eqst le polynôme nul.

Pour la recherche de l'image plusieurs possibilités.
Si vous avez vu les questions de dimensions : $dim(\ker(\varphi))+dim (Im(\varphi))=\dim({\cal P}_2)$
Or $dim({\cal P}_2)=3$ et $dim(\ker(\varphi))=0$ donc $dim(Im(\varphi)=3$.
$Im(\varphi)\subset {\cal P}_2$ et ils ont même dimension par conséquent $Im(\varphi)= {\cal P}_2$

Autre méthode : On considère un polynôme $mx^2+nx+p$ et on cherche si ce polynôme peut appartenir à $Im(\varphi)$ donc si il existe un polynôme $ax^2+bx+c$ dont il est l'image soit $mx^2+nx+p=\varphi (ax^2+bx+c)=3ax^2+2bx +c$
Ce qui donne $\left\{\begin{array}{rcl} a&=&\frac{m}{3} \\ b&=&\frac{n}{2} \\ c&=&p\end{array}\right.$
Donc quel que soit le polynôme $mx^2+nx+p$, il existe un polynôme dont il est l'image d'où $Im(\varphi)= {\cal P}_2$
Compte tenu de la dernière question je pense que c'est la démonstration attendue

3) Pour obtenir la matrice, on cherche les images de chacun des polynômes de la base.
$\varphi (e_0)=\varphi (1)=1=e_0$
$\varphi (e_1)=\varphi (x)=x+x=2x=2e_1$
$\varphi (e_2) =\varphi (x^2)=x(2x)+x^2=3x^2=3e_2$
Donc $Mat(\varphi)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right)$
Cela permet de retrouver que $Im(\varphi)={\cal P}_2$ puisque l'image d'une base est une base. C'est la méthode dont vous avez vue l'indication

4) Si $y$ est une solution polynomiale $P$ alors il faut trouver $P\ / \varphi (P)=x^2-3x+2$
En utilisant le calcul fait pour la recherche de $Im (\varphi)$, on a immédiatement $P=\frac{1}{3} x^2-\frac{3}{2} x +2$