Espace vectoriel

[youcef-ait]

Bonjour Job,




Je demande de l'aide pour ces 2 exercices, me concernant moi cette fois-ci, j'ai du mal à comprendre les notions d'espaces vectoriels, je ne sais pas par quoi commencer pour montrer qu'une famille est libre et génératrice, y a-t-il une méthode qui marche tout le temps ?

Merci à vous Job.

[Job]

Bonjour youcef-ait

La méthode qui, en principe, marche tout le temps, c'est de se ramener aux définitions mais il y a des théorèmes qui peuvent simplifier les calculs.
Je prends, par exemple, un système de 3 vecteurs $(u,v,w)$.
Pour démontrer qu'il est libre, on part d'une combinaison linéaire nulle des 3 vecteurs : $\alpha u +\beta v +\gamma w =0$. Si on arrive à démontrer que $\alpha =\beta =\gamma =0$ alors le système est libre sinon, il ne l'est pas.
Pour démontrer qu'il est générateur, on prend un vecteur quelconque $X$, si $\forall X\in E,\ \exists (\alpha,\beta, \gamma)\in {\mathbb R}^3\ /\ X=\alpha u +\beta v +\gamma w$ alors le système est générateur.

Les théorèmes qui évitent certains calculs :
Dans un espace vectoriel de dimension $n$, un système libre de $n$ vecteurs est nécessairement un système générateur donc une base. Même chose, en remplaçant libre par générateur mais les calculs sont plus simples pour démontrer qu'un système est libre donc on commence généralement par ça.
Dans un espace vectoriel de dimension $n$, un système comprenant plus de $n$ vecteurs n'est pas libre.
Dans un espace vectoriel de dimension $n$, un système comprenant moins de $n$ vecteurs n'est pas générateur.

a) On prend une combinaison linéaire nulle des 3 vecteurs :
$a(1,0,1)+b(-1,1,2)+c(-2,1,2)=(0,0,0)\Longleftrightarrow (a-b-2c, b+c,a+2b+2c)=(0,0,0)$
ce qui équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl} a-b-2c&=&0\\ b+c&=&0\\a+2b+2c&=&0\end{array}\right.$
On résout le système, on obtient $a=b=c=0$ donc le système est libre.
Comme l'espace vectoriel est de dimension 3 et que le système comporte 3 vecteurs, il est aussi générateur donc c'est une base.

b) L'espace est de dimension 3 et le système comprend 4 vecteurs donc il n'est pas libre.
Pour voir, si il est générateur, on prend un vecteur quelconque $(x,y,z)$ et on cherche si il existe 4 réels $a,\ b,\ c, d$ tels que ;
$a(1,0,1)+b(2,0,3)+c(-1,1,1)+d(0,0,1)=(x,y,z) \Longleftrightarrow (a+2b-c, c, a+3b+c+d)=(x,y,z)$
Ce qui conduit au système d'inconnues $a,\ b,\ c, d$ : $\left\{\begin{array}{rcl}a+2b-c&=&x\\c&=&y\\a+3b+c+d&=&z\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}c&=&y\\a+2b&=&x+y\\a+3b+d&=&z-y\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}c&=&y\\a&=&x+y-2b\\b+d&=&z-2y-x\end{array}\right.$
On peut donner à $d$ une valeur quelconque $m$ et on a alors $\left\{\begin{array}{rcl}d&=&m\\b&=&z-2y-x-m\\ a&=&3x+y-2z+2m\\c&=&y\end{array}\right.$
Tout vecteur $(x,y,z)$ peut donc s'exprimer en fonction des vecteurs du système, c'est un système générateur.

Je poursuivrai cet après-midi.

[youcef-ait]

Je vous remercie pour vos explications, donc si j'ai bien compris, alors pour le c) :

Pour montrer que le système est libre, je prends (e,f,g), il faut que :

e(1) + f(x - alpha) + g(x-alpha)² = 0
e + fx - f.alpha + gx² - 2.g.x.alpha + e.alpha² = 0

e - f.alpha + g.alpha² = 0
f - 2.g.alpha = 0
g = 0

On déduit que e = f = g = 0
Donc le système est libre.

Pour montrer qu'il est générateur, je prends un vecteur quelconque (u, v, w) appartenant à E, il faut que :

ax² + bx + c = u + vx - v.alpha + wx² - 2.w.x.alpha + w.alpha²

a = w
b = v - 2.w.alpha
c = u - v.alpha + w.alpha²

w = a
v = b + 2.a.alpha
u = c + b.alpha + a.alpha²

Je ne sais pas si c'est bon, mais je n'arrive pas à conclure sur le fait qu'il soit générateur ou non ...

Édit :

Je repose ma question de façon différente, qu'est-ce qu'il aurait fallu ici pour que le système ne soit pas générateur (si celui-ci l'est)

[Job]

c) Pour le système libre, c'est bon.
Pour le système générateur, vous vous êtes un peu embrouillé dans les notations et effectivement ce n'est pas toujours simple.
Prendre un vecteur de $E$ c'est prendre un polynôme $ax^2+bx+c$ et on cherche si il existe un triplet de réels $(m,n,p)$ tel que
$\forall x \in {\mathbb R},\ ax^2+bx+c=m(1)+n(x-\alpha)+p(x-\alpha)^2$ ce qui conduit au système :
$\left\{\begin{array}{rcl} a&=&p\\b&=&n-2p\alpha \\ c&=& m-n\alpha+p\alpha^2\end{array}\right.$
En inversant le système : $\left\{\begin{array}{rcl}p&=&a\\ n&=&b+2a\alpha\\ m&=&c-b\alpha -3a\alpha^2\end{array}\right.$
Donc quel que soit le polynôme $ax^2+bx+c$, on peut trouver des coefficients $m,\ n,\ p$ (uniques) tels que le polynôme s'exprime en fonction des vecteurs de $E_3$
$E_3$ est donc un système générateur.
(Si vous avez vu le théorème correspondant), On peut éviter cette démonstration puisque c'est un système libre de 3 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 3 donc c'est une base (et à fortiori un système générateur)

(Pour que ce ne soit pas un système générateur, il aurait fallu que le système ne soit pas inversible)

d)
$E$ est de dimension 4 et le système ne comporte que 3 vecteurs donc ce n'est pas un système générateur.
$m\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right) + n \left(\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}\right)+p\left(\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right)$ équivaut à $\left(\begin{matrix}n&m\\-m&p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right)$ donc à $m=n=p=0$
$E_4$ est donc un système libre.

Pour montrer directement que ce n'est pas un système générateur, il faut chercher si quelle que soit la matrice de $E$, il existe des réels $m,\ n,\ p$ tels que :
$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n&m\\-m&p\end{matrix}\right)$
Pour qu'il y ait une solution, il faudrait que $c=-b$, ce qui n'est pas réalisé quelle que soit la matrice de $E$ donc ce n'est pas un système générateur. Il n'engendre que les matrices de la forme $\left(\begin{matrix}a&b\\-b&d\end{matrix}\right)$

[Job]

Exercice 2
Un vecteur de $E$ s'écrit sous la forme :
$ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=a(2x_2-x_3)+bx_2+cx_3+d(2x_2-x_3+x_2+x-3)=(2a+b+3d)x_2+(-a+c)x_3$
Tout vecteur de $E$ s'exprime donc en fonction de $(x_2,x_3)$ donc $(x_2,x_3)$ est un système générateur.

$x_3$ et $x_2$ peuvent-ils être colinéaires ?
Si $x_3=kx_2$ alors $x_1=(2-k)x_2$ et $x_4=(2-k)x_2+x_2+kx_2=3x_2$

Si ces 3 conditions ne sont pas remplies, $(x_2,x_3)$ est alors un système libre donc une base.

Si les 3 conditions étaient remplies (ce que le texte ne suppose pas) alors la base ne comporterait qu'un seul vecteur.

[youcef-ait]

Je vous remercie d'avoir pris le temps de répondre à tout cela, je commence mieux à comprendre.


J'avais aussi celui-ci à faire, on a :

$P$ = { $P(x)$ = $a_{2} x²$ + $a_{1} x$ + $a_{0}$ / ($a_{0}$ ; $a_{1}$ ; $a_{2}$) $∈$ $R^{3}$}

On sait que la base canonique est : $B_{1}$ = $(1 \;, x\; , \;x²)$

On veut savoir savoir si celle-ci est aussi une base de $P$ :

$B_{2}$ = $(1 ,\; x ,\; x(x-1))$

Donc je regarde d'une part si $B_{2}$ est libre :

Soit $(a ,\; b ,\; c)$ , on doit donc avoir :

$a + bx + cx² - cx = 0$

On a bien : $a = b = c = 0$

Et on regarde si elle peut générer les éléments de $P$, donc si on prend $(m\;,n\;,p)$ :

$a_{2} x² + a_{1} x + a_{0} = m + nx + px² - px $

$\left\{
\begin{array}{r c l}
a_{2} &=& p\\
a_{1} &=& n - p\\
a_{0} &=& m
\end{array}
\right.$

On obtient :

$\left\{
\begin{array}{r c l}
p &=& a_{2}\\
n &=& a_{1} + a_{2} \\
m &=& a_{0}
\end{array}
\right.$

Je déduis donc, si je n'ai pas dit de bêtises, que $B_{2}$ est bien une base de $P$.

Est-ce que c'est bon ?

[Job]

Tout est exact.

[youcef-ait]

Je vous remercie $Job$ !