Matrice de passage par 2 méthodes différentes

[Jon83]

Bonjour!
Sur un exercice d'application simple, je ne retrouve pas le même résultat suivant la méthode utilisée, et je ne sais pas où est mon erreur....

Soit R² muni de sa base canonique B
Soit B'=(u,v)=((1,1),(1,-1))
f l'application de R²-->R² | (x,y)-->(x-y,x-y)
Déterminer la matrice de passage représentant f dans la base B' de deux façons différentes.

1) Méthode sans utiliser de matrice de passage de B à B':
f(1,1)=(1-1,1-1)=(0,0) ; f(1,-1)=(1+1,1+1)=(2,2) .
Donc N=matrice dans la base B' de f={{0,2},{0,2}}

2) Méthode avec matrice de passage:
Dans la base B : f(e(1))=f(1,0)=(1-0,1-0)=(1,1) ; f(e(2))=f(0,1)=(0-1,0-1)=(-1,-1)
Donc M=matrice dans la base B de f={{1,-1},{1,-1}} et P=matrice de passage de B à B'={{1,1},{1,-1}}
Alors, N=P^(-1)*M*P ; en inversant P je trouve P^(-1)=(1/2){{1,1},{1,-1}}
D'où N=(1/2){{1,1},{1,-1}} * {{1,-1},{1,-1}} * {{1,1},{1,-1}} = {{0,2},{0,0}} différent de 1) ....
Je ne sais pas si j'ai fait une erreur de raisonnement ou une erreur de calcul ???? Merci de vos conseils!

[Job]

Bonjour

1) $f(u)=(0,0)\ ;\ f(v)=(2,2)=2u$ donc dans la base $B'$ la matrice de $f$ est $\left(\begin{matrix}0 & 2\\ 0 & 0\end{matrix} \right)$ puisque la première colonne donne les coordonnées de $f(u)$ et la seconde les coordonnées de $f(v)$ dans la base $B'=(u,v)$

2) D'accord pour la seconde méthode.

[Jon83]

Merci pour votre réponse.
Dans le 1) f(v)=(2,2)=2u OK mais je ne comprends pas la matrice ?

[Job]

Merci pour votre réponse.
Dans le 1) f(v)=(2,2)=2u OK mais je ne comprends pas la matrice ?

Puisqu'on est dans la base $(u,v)$ , $f(v)=2u+0v$ . On écrit dans la deuxième colonne les coordonnées de $f(v)$ par rapport à $(u,v)$.

[Jon83]

OK! Merci...