Bonjour,
Je poste ce message parce que je dois résoudre une équation de ce type:
Sinx+sin2x+sin3x=0(E).
[On calculera e^ix+e^2ix+e^3ix et sa partie imaginaire].
Mais je ne vois pas trop comment résoudre ça.
J'ai penser à faire un changement de variable ou à écrire ça en fonction de la formule d'Euler mais je ne pense pas que je pourrais résoudre ça avec cette formule.
Je peut écrire que sinx= (e^ix-e^-ix)/2i,et que Sinx+sin2x+sin3x= 0 <=>(e^ix-e^-ix)/2i+ (e^2ix-e^-2ix+-2e^0)/(2i)²+(e^3ix-e^3ix-3e^-ix+3e^ix)/(2i)^3.
De plus j'ai essayé de comprendre ça:
Soit n appartenant à N*,calculer la dérivée d'ordre n(dérivée n-ieme) des fonctions suivantes:
(1)f(x)=1/(x-1),(2) g(x)=cosx.
On précisera l'intervalle R ou ces fonctions existent.
Et dans mon cours je vois:
$\, \forall n \in \mathbb{N}*, \, f^{(n)} = (f^{(n-1)})' \,$
,mais je ne comprend pas cette formule,je ne vois pas comment l'appliquer dans des cas "concrets"(surtout pour résoudre cet exo).
Même si je sais ce que c'est une dérivé première,seconde....
Puis l'ensemble de définition de cosx c'est R,mais l'ensemble de définition de 1/(x-1) c'est R/{-1} car la fonction n'est pas définie quand x=-1.
Équation avec sinus x
Re: Équation avec sinus x
Bonjour
1) $\sin x +\sin (2x) +\sin (3x)$ est la partie imaginaire de $e^{ix}+e^{2ix} +e^{3ix}$
$e^{ix}+e^{2ix} +e^{3ix}=e^{2ix} (e^{-ix} +1 +e^{ix}=e^{2ix} (1+2\cos x)=(\cos (2x)+i\sin (2x))(1+2\cos x)$
La partie imaginaire est donc : $\sin (2x)(1+2\cos x)$
Le produit est nul si un des facteurs est nul.
$\sin (2x)=0 \Longleftrightarrow 2x=k\pi\ (k\in {\mathbb Z})$ soit $x=k\frac{\pi}{2} \ (k\in {\mathbb Z})$
$1+2\cos x =0 \Longleftrightarrow \cos x =-\frac{1}{2}$ donc $ x\in \{\frac{2\pi}{3} +k2\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}\cup \{-\frac{2\pi}{3} +k2\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}$
2) On calcule les premières dérivées.
$f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$ ; $f"(x)=-\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{2}{(x-1)^3}$
$f^{(3)} (x) =2\frac{-3(x-1)^2}{(x-1)^6}=-\frac{6}{(x-1)^4}$
Les premiers calculs permettent de faire la conjecture : $f^{(n)}(x)=(-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}}$
On démontre alors cette propriété par récurrence.
La propriété est vérifiée au rang 1.
Supposons la propriété vérifiée à un rang $n$. On a alors :
$f^{(n+1)} (x)=(-1)^n n! \frac{-(n+1)(x-1)^n}{(x-1)^{2n+2}}=(-1)^{n+1}\frac{(n+1)!}{(x-1)^{2n+2-n}}=(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(x-1)^{n+2}}$
La propriété est donc vérifiée au rang $(n+1)$.
Toutes ces fonctions sont définies sur ${\mathbb R} /\{1\}$
3) Même chose : on calcule les premières dérivées.
$g'(x)=-\sin x$ ; $g"(x)=-\cos x$ ; $g^{(3)}(x)=\sin x$ ; $g^{(4)}(x)=\cos x$ . On revient à $g$
En posant $g^{(0)} (x) =g(x)=\cos x$, on voit que la suite des dérivées est une suite périodique de période 4
On a donc avec $k$ entier naturel :
$g^{(4k)}(x)=\cos x$ ; $g^{(4k+1)}(x)=-\sin x$ ; $g^{(4k+2)}(x)=-\cos x$ ; $g^{(4k+3)}(x)=\sin x$
Dans ce type de question, regarder les premiers termes est un réflexe à avoir.
1) $\sin x +\sin (2x) +\sin (3x)$ est la partie imaginaire de $e^{ix}+e^{2ix} +e^{3ix}$
$e^{ix}+e^{2ix} +e^{3ix}=e^{2ix} (e^{-ix} +1 +e^{ix}=e^{2ix} (1+2\cos x)=(\cos (2x)+i\sin (2x))(1+2\cos x)$
La partie imaginaire est donc : $\sin (2x)(1+2\cos x)$
Le produit est nul si un des facteurs est nul.
$\sin (2x)=0 \Longleftrightarrow 2x=k\pi\ (k\in {\mathbb Z})$ soit $x=k\frac{\pi}{2} \ (k\in {\mathbb Z})$
$1+2\cos x =0 \Longleftrightarrow \cos x =-\frac{1}{2}$ donc $ x\in \{\frac{2\pi}{3} +k2\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}\cup \{-\frac{2\pi}{3} +k2\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}$
2) On calcule les premières dérivées.
$f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$ ; $f"(x)=-\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{2}{(x-1)^3}$
$f^{(3)} (x) =2\frac{-3(x-1)^2}{(x-1)^6}=-\frac{6}{(x-1)^4}$
Les premiers calculs permettent de faire la conjecture : $f^{(n)}(x)=(-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}}$
On démontre alors cette propriété par récurrence.
La propriété est vérifiée au rang 1.
Supposons la propriété vérifiée à un rang $n$. On a alors :
$f^{(n+1)} (x)=(-1)^n n! \frac{-(n+1)(x-1)^n}{(x-1)^{2n+2}}=(-1)^{n+1}\frac{(n+1)!}{(x-1)^{2n+2-n}}=(-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(x-1)^{n+2}}$
La propriété est donc vérifiée au rang $(n+1)$.
Toutes ces fonctions sont définies sur ${\mathbb R} /\{1\}$
3) Même chose : on calcule les premières dérivées.
$g'(x)=-\sin x$ ; $g"(x)=-\cos x$ ; $g^{(3)}(x)=\sin x$ ; $g^{(4)}(x)=\cos x$ . On revient à $g$
En posant $g^{(0)} (x) =g(x)=\cos x$, on voit que la suite des dérivées est une suite périodique de période 4
On a donc avec $k$ entier naturel :
$g^{(4k)}(x)=\cos x$ ; $g^{(4k+1)}(x)=-\sin x$ ; $g^{(4k+2)}(x)=-\cos x$ ; $g^{(4k+3)}(x)=\sin x$
Dans ce type de question, regarder les premiers termes est un réflexe à avoir.