Racine n-ième d'un nombre complexe

[Jean37]

Bonjour,j'ai tenté de faire cet exercice,mais je voudrais savoir ce qui est bon et ce qui ne l'ai pas si possible,merci .
Ecrire les racines sixième de l'unité autre que -1 et 1 en fonction de j=-1/2 +i racine(3)/2.
2)Donner une racine cubique de 8i,puis calculer (1-i)²..
En déduire les racine 6-ième de 8i en fonction de j.
3)Donner un module et un argument pour chaque racine cubique de 8i.
En déduire la valeur de cos(pi/12) et sin(pi/12).

1)Les racines n-ième de l'unité sont les nombres complexes zk données par:
zk=e^(i*2k*pi/n) avec k appartenant à {0,1...,5}.
Et pour k=0,on a
z0=e^(i*2*0*pi/6)=e^(0/6)=e^0=1.
De la même façon ,z1=e^(i.pi3)=-j_barre; z2=e^(2i.pi/3)=j; z3=e^(6i.pi/6)=e^(i.pi)=-j_barre; z4=e^(4i.pi/3)=j²=j_barre ;z5=e^(5i.pi/3).

2)Une racine cubique de 8i c'est -2i car (-2i)^3=4i²*-2i=-4*-2i=8i.
Puis(1-i)²=1-1-2i=-2i.
Mais pour les dernière questions je n'ai pas trop compris et si vous pouviez m'aider ça serait sympa,d'ailleurs je me demande si il mon professeur ne voulait pas écrire racine sixième,au lieu de cubique,ça semble bizarre.

[Job]

Bonjour

1) Il manque : $e^{i\frac{5\pi}{3}}=-e^{i\frac{2\pi}{3}}=-j$

2) $(1-i)^6=[(1-i)^2]^3=(-2i)^3=8i$ donc $(1-i)$ est une racine sixième de $8i$
Pour obtenir les racines sixièmes de $8i$, il suffit alors de multiplier les racines sixièmes de 1 par $1-i$.
Les racines sixièmes de 8i sont donc :
$1-i\ ;\ (1-i)(-j^2)\ ;\ (1-i)(j)\ ;\ -(1-i)\ ;\ (1-i)j^2\ ;\ (1-i)(-j)$

3) Si il s'agit des racines sixièmes : $1-i=\sqrt 2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$ donc module $\sqrt 2$ et argument $-\frac{\pi}{4}$
$(1-i)(-j^2)=\sqrt 2 e^{-i\frac{\pi}{4}} \times e^{i\frac{\pi}{3}}=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{12}}$
Et on continue de même pour les autres.

$(1-i)(-j^2)=(1-i)(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt 3}{2})=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2})+i(\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{1}{2})$
Donc $\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{12}}=\sqrt 2 (\cos \frac{\pi}{12} +i\sin\frac{\pi}{12})=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2})+i(\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{1}{2})$
On en déduit : $\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\frac{1}{2} +\frac{\sqrt 3}{2}}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}$ et $\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{1}{2}}{\sqrt 2} =\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}$

(Si on ne veut que les racines cubiques, il faut multiplier $-2i$ par les racines cubiques de 1 : $1\ ;\ j\ ;\ j^2$