Etude de la périodicité,de la parité et ensemble,fonctions.

[Jean37]

Bonsoir,j'ai fais un exercice ou l'on me demande les ensemble de définition de certaines fonctions,et d'étudier leur parité et leur périodicité.
Et si vous pouviez m'aidez pour la rédactions et me signaler mes erreurs,ça serait sympa,merci
Le voici donc:
Déterminer l'ensemble de définition Df de la fonction f(.) et étudier la parité et la périodicité.

(1)f(x)= (2|x|)/(x²+1). (2) f(x)= (racine de(x))/(x²+1) ; (3)f(x)= (x^3)/(racine de (x²-1));

(4),f(x)=cos(x)+cos(x/2); (5) f(x)=sin(x/2), (6) f(x)=tan(x).

Alors dans le (1),on a Df=R car x²+1>0(toujours supérieur à 0),et la fonction est paire car f(-x)=f(x).

En effet |-x|=x,donc (2|x|)/(x²+1)= (2|-x|)/((-x)²+1).

Mais cette fonction n'est pas périodique car f(x+t) n'est pas égale à f(x).

En effet (2|x|)/(x²+1) est différent de (2|x+t|)/((x+t)²+1)= (2|x+t|)/(x²+2xt+t²+1).

(2)Là on aurait pu dire que Df=R car x²+1>0(toujours supérieur à 0) mais il faut prendre en compte le racine de(x) qui doit toujours être positif,cela veux dire que l'ensemble de définition c'est Df=]-∞,00,+∞ [ Mais on peut écrire ça comme ça je crois: R/{-∞,0}.

Ensuite la fonction n'est ni impaire,ni paire car f(-x)=(racine de(-x))/((-x)²+1) n'est possible que si x est négatif,or x ne peut pas être négatif,donc f(-x) n'existe même pas.
Après f(x+t)= (racine de(x+t))/((x+t)²+1)=(racine de(x+t))/(x²+2xt+t²²+1) différent de f(x).

Le (3) quand à lui,alors nous pouvons dire qu'il ne faut pas que le dénominateur soit égal à 0,donc il faut que x²-1 différent de 0 donc que x soit différent de -1 et 1 qui sont les deux racines de ce polynôme.
Donc Df=R/{-1,1}=]-∞,-11,+∞ [ .
Puis concernant la parité on peut dire que f(-x)=(-x)^3/(racine de ((-x)²-1))=(-x^3)/(racine de (x²-1)) qui est différent de f(x),donc cette fonction n'est pas paire,mais c'est égale à -f(x)=f(-x)=(-x^3)/(racine de (x²-1)) donc la fonction est impaire.

Concernant la périodicité nous avons: f(x+t)=((x+t)^3)/(racine de ((x+t)²-1))=(x^3+3x²t+3t²x+t^3)/(racine de (x²+2xt+t²-1)) totalement différent de f(x) donc la fonction n'est pas périodique.
(4)
Alors on peut dire que Df=R,ensuite,f(-x)=f(x),en effet,cos(-x)=cos(x),donc cos(x)+cos(x/2)=cos(-x)+cos(-x/2). Donc la fonction est paire.
Forcément elle n'est pas impaire,mais on précisera que c'est parce que f(-x) est différent de -f(x)=-cos(x)-cos(x/2).

Ensuite la périodicité,on sait que cos(x+pi)=-cos(x) ça suffit pour dire qu'elle n'est pas périodique même si je n'ai pas utilisé t.

(5)La encore Df=R et sin(-x)=-sin(x) donc sin(-x/2)=-sin(x/2) donc cette fonction n'est pas paire,mais elle est impaire(logiquement).
Et concernant la périodicité je sais qu'elle est périodique mais je ne sais pas ce que ça donne sin(x+t) ou cos(x+t).

(6) Df=R,et on sait que tan(-théta)=-tan(théta) donc tan(-x)=-tan(x) donc cette fonction est impaire,donc elle n'est pas paire.
Puis tan(x+t) je ne sais pas ce que ça donne malheureusement.

[Job]

Bonsoir

2) La fonction racine carrée n'est définie que sur ${\mathbb R}^+$ donc l'ensemble de définition est $[0 , +\infty[$
L'ensemble de définition n'étant pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire, ni impaire.

3) Des confusions pour l'ensemble de définition : la fonction est définie si et seulement si $x^2-1>0$ donc d'après la règle sur le signe du trinôme, l'ensemble de définition est $]-\infty , -1[ \cup ]1,+\infty[$ (et non R/{-1,1})
Pour justifier que la fonction est impaire , il faut ajouter que $\forall x \in D_f,\ (-x)\in D_f$ (l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0).

4) Il faut savoir que la fonction cosinus a pour période $2\pi$ donc $\cos \frac{x}{2}$ a pour période $4\pi$ car $\cos (\frac{x+4\pi}{2})=\cos (\frac{x}{2}+2\pi)=\cos \frac{x}{2}$
Par conséquent $f$ a pour période $4\pi$.

5) Même raisonnement $\sin \frac{x}{2}$ a pour période $4\pi$ : $\sin (\frac{x+4\pi}{2})=\sin (\frac{x}{2}+2\pi)=\sin\frac{x}{2}$

6) $\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$ donc la fonction tangente n'est pas définie si $\cos x =0$ soit $x=\frac{\pi}{2} +k\pi\ (k\in {\mathbb Z})$
$D=\{x\in {\mathbb R}\ /\ x\neq \frac{\pi}{2} +k\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}$
$\tan (x+\pi)=\frac{\sin (x+\pi)}{\cos (x+\pi)}=\frac{-\sin x}{-\cos x} =\tan x$ . La fonction tangente a pour période $\pi$

[Jean37]

Ah ok,merci,je n'avais pas trop compris ces histoires de période,mais ce que vous n'avez pas corrigé,c'est ce qui est bon ?

[Job]

Ah ok,merci,je n'avais pas trop compris ces histoires de période,mais ce que vous n'avez pas corrigé,c'est ce qui est bon ?

Oui c'est bon avec quelques maladresses dans la rédaction.
Pour les 3 premières fonctions pour justifier qu'elles ne sont pas périodiques il vaut mieux écrire : Il n'existe aucun réel $t$ tel que $\forall x \in D_f, f(x+t)=f(x)$ et pour la parité ajouter que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 (quand c'est le cas).