Bonjour,j'ai fais un exercice ou l'on me dit:
Soit z et z' des nombres complexes non nuls.
Montrer que |z+z'|=|z|+|z'| ssi il existe y réel positif tel que z'=yz.
Et voici ce que j'ai écrit:
Montrer que |z+z'|=|z|+|z'|revient à montrer que |z+yz|=|z|+|z'|,donc que|z+yz|=|z|+|yz|= z|1+y|.
Mais ce n'est vrai que si y>0 car si y<0 |z+z'|= |z+yz| ne sera pas égal à |z|+|z'| car si y=-1,alors l'égalité est fausse ,on aurait |0|=|z|+|-z|=|z|+z.
Je comprends,mais je n'arrive pas à démontrer :/.
Si vous pouviez m'aider pour la rédaction ça serait sympa
Somme de valeur absolue,nombres complexes
Re: Somme de valeur absolue,nombres complexes
Bonjour
Effectivement tu n'as pas vraiment fait de démonstration et de plus il y avait une équivalence à démontrer.
On peut supposer $z\neq 0$ sinon l'égalité n'a aucun intérêt.
$|z+z'|=|z|+|z'| \Longleftrightarrow |z(1+\frac{z'}{z})|=|z|(1+\frac{|z'|}{|z|})\Longleftrightarrow |z|\cdot |1+\frac{z'}{z}|=|z|(1+\frac{|z'|}{|z|}) \Longleftrightarrow |1+\frac{z'}{z}|=1+|\frac{z'}{z}|$
On pose $\frac{z'}{z}=y$ avec $y\in {\mathbb C}$ donc l'égalité initiale équivaut à $|1+y|=1+|y|$ ou encore puisqu'il s'agit de 2 réels positifs $|1+y|^2=(1+|y|)^2$
$(1+y)(1+\bar y)=1+|y|^2+2|y|$
$1+y+\bar y +y\bar y|=1+y\bar y +2|y|$
$y+\bar y=2|y|$
$2\Re (y)=2|y|$
Cette dernière égalité équivaut à $\Re (y)>0$ et $\Im (y)=0$ donc à $y$ réel strictement positif soit $z'=yz$ avec $y$ réel strictement positif.
Effectivement tu n'as pas vraiment fait de démonstration et de plus il y avait une équivalence à démontrer.
On peut supposer $z\neq 0$ sinon l'égalité n'a aucun intérêt.
$|z+z'|=|z|+|z'| \Longleftrightarrow |z(1+\frac{z'}{z})|=|z|(1+\frac{|z'|}{|z|})\Longleftrightarrow |z|\cdot |1+\frac{z'}{z}|=|z|(1+\frac{|z'|}{|z|}) \Longleftrightarrow |1+\frac{z'}{z}|=1+|\frac{z'}{z}|$
On pose $\frac{z'}{z}=y$ avec $y\in {\mathbb C}$ donc l'égalité initiale équivaut à $|1+y|=1+|y|$ ou encore puisqu'il s'agit de 2 réels positifs $|1+y|^2=(1+|y|)^2$
$(1+y)(1+\bar y)=1+|y|^2+2|y|$
$1+y+\bar y +y\bar y|=1+y\bar y +2|y|$
$y+\bar y=2|y|$
$2\Re (y)=2|y|$
Cette dernière égalité équivaut à $\Re (y)>0$ et $\Im (y)=0$ donc à $y$ réel strictement positif soit $z'=yz$ avec $y$ réel strictement positif.