Puissance de matrice

[Jon83]

Bonjour!
Soit la matrice R={(0,1);(-1,0)} ; on demande de calculer R^n.
J'ai calculé R^2, R^3, R^4, R^5 , mais je ne vois pas apparaître une formule générale... Quelle est la technique à utiliser?

[Job]

Bonjour

Soit $(e_1,e_2)$ la base canonique de ${\mathbb R}^2$ et $f$ l'application linéaire de matrice $R$
$f(e_1)=e_2$ ; $f(e_2)=-e_1$
$f^2(e_1)=-e_1$ et $f^2(e_2)=-e_2$
Donc $f^2=-Id$ et $f^4=Id$
On distingue donc 4 cas :
$f^{4p}=(f^4)^p=Id$ donc $R^{4p}=\left(\begin{matrix}1& &0\\0& &1\end{matrix}\right)$
$f^{4p+1}=f\circ f^{4p}=f\circ Id =f$ donc $R^{4p+1}=\left(\begin{matrix}0& &-1\\1& &0\end{matrix}\right)$
$f^{4p+2}=f^2\circ f^{4p}=f^2\circ Id =f^2$ donc $R^{4p+2}=\left(\begin{matrix}-1& &0\\0& &-1\end{matrix}\right)$
$f^{4p+3}=f±circ f^{4p+2} =f\circ (-Id)=-f$ donc $R^{4p+3}=\left(\begin{matrix}0& &1\\-1& &0\end{matrix}\right)$

[Jon83]

Merci pour ta réponse!
Mais je ne suis pas sûr d'avoir exprimé correctement la matrice R: il s'agit de
<math> R=\left(\begin{matrix}0& &1\\-1& &0\end{matrix}\right) </math>
et on demande d'exprimer R^n suivant que n soit pair ou impair....

[Job]

Effectivement il y a eu une confusion. Je vais rectifier

Soit $(e_1,e_2)$ la base canonique de ${\mathbb R}^2$ et $f$ l'application linéaire de matrice $R$
$f(e_1)=-e_2$ ; $f(e_2)=e_1$
$f^2(e_1)=-e_1$ et $f^2(e_2)=-e_2$
Donc $f^2=-Id$ et $f^4=Id$
On distingue donc 4 cas :
$f^{4p}=(f^4)^p=Id$ donc $R^{4p}=\left(\begin{matrix}1& &0\\0& &1\end{matrix}\right)$
$f^{4p+1}=f\circ f^{4p}=f\circ Id =f$ donc $R^{4p+1}=\left(\begin{matrix}0& &1\\-1& &0\end{matrix}\right)$
$f^{4p+2}=f^2\circ f^{4p}=f^2\circ Id =f^2$ donc $R^{4p+2}=\left(\begin{matrix}-1& &0\\0& &-1\end{matrix}\right)$
$f^{4p+3}=f\circ f^{4p+2} =f\circ (-Id)=-f$ donc $R^{4p+3}=\left(\begin{matrix}0& &-1\\1& &0\end{matrix}\right)$

Si $n=2p$ alors $R^n=\left(\begin{matrix}(-1)^p & 0\\ 0&(-1)^p\end{matrix}\right)$
Si $n=2p+1$ alors $R^n=\left(\begin{matrix}0&(-1)^p\\(-1)^{p+1}&0\end{matrix}\right)$