Bonjour!
Soit P un polynôme de R[X] et f un endomorphisme de R[X]
J'ai trouvé l'expression f(P)= voir 1ère pj.
Comment la simplifier pour trouver (voir 2ème pj) où R(X) est un polynôme de degré <=n ?
simplification de sommes
Re: simplification de sommes
Bonjour
Pour pouvoir répondre à la question je pense avoir besoin de renseignements supplémentaires en particulier la définition de l'endomorphisme et le degré de $P$.
Pour pouvoir répondre à la question je pense avoir besoin de renseignements supplémentaires en particulier la définition de l'endomorphisme et le degré de $P$.
Re: simplification de sommes
Voici l'énoncé complet...
J'en suis à la question 2) et j'ai supposé degré(P)>=1 donc P=somme de k=0 à n de a_k*X^k avec a_n<>0 et j'ai calculé f(P) que je cherche à simplifier...
J'en suis à la question 2) et j'ai supposé degré(P)>=1 donc P=somme de k=0 à n de a_k*X^k avec a_n<>0 et j'ai calculé f(P) que je cherche à simplifier...
Re: simplification de sommes
$P(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^k$ et $P'(X)=\sum_{k=1}^n ka_kX^{k-1}$
En développant le produit $(X-1)(X-2)P'(X)-2XP(X)=X^2P'(X)-3XP'(X)+2P'(X)-2XP(X)$
On exprime alors chacun des termes de la somme :
$X^2P'(X)=\sum_{k=1}^n ka_k X^{k+1}$
$-3XP'(X))=-3\sum_{k=1}^n ka_kX^k$
$2P'(X)=2\sum_{k=1}^n ka_kX^{k-1}$
$-2XP(X)=-2\sum_{k=0}^n a_k X^{k+1}$
Et on a bien le résultat demandé.
En développant le produit $(X-1)(X-2)P'(X)-2XP(X)=X^2P'(X)-3XP'(X)+2P'(X)-2XP(X)$
On exprime alors chacun des termes de la somme :
$X^2P'(X)=\sum_{k=1}^n ka_k X^{k+1}$
$-3XP'(X))=-3\sum_{k=1}^n ka_kX^k$
$2P'(X)=2\sum_{k=1}^n ka_kX^{k-1}$
$-2XP(X)=-2\sum_{k=0}^n a_k X^{k+1}$
Et on a bien le résultat demandé.
Re: simplification de sommes
Bonjour!
Je vous remercie pour votre réponse. C'est effectivement le résultat que j'ai obtenu.
Mais ce résultat doit se simplifier pour obtenir: voir pj2 avec R(X)=polynôme de degré <=n
et c'est là que je bloque....
Je vous remercie pour votre réponse. C'est effectivement le résultat que j'ai obtenu.
Mais ce résultat doit se simplifier pour obtenir: voir pj2 avec R(X)=polynôme de degré <=n
et c'est là que je bloque....
Re: simplification de sommes
Dans la somme, il n'exista que 2 termes de degré $n+1$ : $na_nX^{n+1}-2a_nX^{n+1}=(n-2)a_nX^{n+1}$
On a donc $R(X)=\sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k+1}-3\sum_{k=1}^nka_kX^k+2\sum_{k=1}^nka_kX^{k-1}-2\sum_{k=0}^{n-1}X^{k+1}$ qui est bien de degré maximum $n$.
Est-il nécessaire pour le problème de transformer cette écriture ?
On a donc $R(X)=\sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k+1}-3\sum_{k=1}^nka_kX^k+2\sum_{k=1}^nka_kX^{k-1}-2\sum_{k=0}^{n-1}X^{k+1}$ qui est bien de degré maximum $n$.
Est-il nécessaire pour le problème de transformer cette écriture ?
Re: simplification de sommes
Je ne sais pas si c'est nécessaire, mais suite à cette transformation, on nous donne la conclusion:
- si n<>2 alors deg(f(P))=n+1
- si n=2 alors deg(f(P))<=n
Mais on a f(P)=lambda*P si lambda est une valeur propre avec deg(lambda*P)<=n
L'égalité des deux polynômes f(P) et lambda*P impose nécessairement n=2
En conclusion, si P est un vecteur propre de f alors deg(P)=2 CQFD
- si n<>2 alors deg(f(P))=n+1
- si n=2 alors deg(f(P))<=n
Mais on a f(P)=lambda*P si lambda est une valeur propre avec deg(lambda*P)<=n
L'égalité des deux polynômes f(P) et lambda*P impose nécessairement n=2
En conclusion, si P est un vecteur propre de f alors deg(P)=2 CQFD
Re: simplification de sommes
D'accord avec le raisonnement.
PS : J'avais mal compris l'enchaînement des questions
PS : J'avais mal compris l'enchaînement des questions
Re: simplification de sommes
Merci beaucoup pour ton aide...
Bonne journée!
Bonne journée!