Bonjour,j'ai fais un exercice,mais il y a quelque chose que je n'ai pas compris,voici donc cet exercice:
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O,i,j,k)on considère les points : A(3 ; −2 ; 1) B(5 ; 2 ; –3), C(6 ; −2 ; −2), D(4 ; 3 ; 2).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. a. Montrer que le vecteur n( 2 ; 1 ; 2 )est un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire une équation du plan (ABC).
Et voici ce que j'ai écris:
1) Cela revient à montrer que AB n'est pas égale à k*AC,ou alors que AB^(vectoriel)AC est différent de 0.
En effet ces points ne sont pas alignés car AB(2,4,-4) n'est pas égale à k*AC(3,0-3),ces vecteurs ne sont pas colinéaire donc A,B et C ne sont pas alignés.
2.a)Il faut montrer que AB*n est égal au vecteur nul,ce qui est le cas,AB*n=4+4-8=0.
AB^(vectoriel)AC= n(-12,-6,-12)
b) d'ou l'équation Pabc: 2x+y+2z-6=0 (en remplaça x,y et z par les coordonnées de A on trouve d).
Mais la question 2,il y a des choses que je n'ai pas compris vu que quelqu'un m'a dit:
"AB^(vectoriel)AC= n(-12,-6,-12) " Non, n(2,1,2)" ces vecteurs ne sont-ils pas colinéaires?
Et ensuite on m'a aussi des chose que je n'ai pas totalement comprise,les voici:
" tu commences par prouver que n est orthogonal à un des vecteurs du plan, ce qui ne permet pas de conclure, puis tu calcules un produit vectoriel qui ne donne pas n".
Ainsi que "le fait que n et AB soient orthogonaux ne prouve absolument pas que n est orthogonal au plan !! Il y a une infinité de plans passant par (AB) dont un seul est orthogonal à n. Il y en a même un qui contient n !!"
Je comprend comprend cette dernière remarque,mais que manquait-il pour que ma réponse soit vrai?(réponse du 2.a).
Cordialement
Produit scalaire,vecteurs orthogonaux
Re: Produit scalaire,vecteurs orthogonaux
Bonjour
Première méthode : Pour montrer que $\vec n$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, il ne suffit pas de montrer que $\vec n$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AB}$, il faut que $\vec n$ soit orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ donc il faut aussi montrer que $\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {AC}=0$
Deuxième méthode avec le produit vectoriel.
$\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow {AC}$ a pour coordonnées $(-12,-6,-12)$, il est donc égal à $-6\vec n$. Par conséquent $\vec n$ colinéaire à $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow {AC}$ est bien un vecteur normal au plan $(ABC)$
Première méthode : Pour montrer que $\vec n$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, il ne suffit pas de montrer que $\vec n$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AB}$, il faut que $\vec n$ soit orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ donc il faut aussi montrer que $\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {AC}=0$
Deuxième méthode avec le produit vectoriel.
$\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow {AC}$ a pour coordonnées $(-12,-6,-12)$, il est donc égal à $-6\vec n$. Par conséquent $\vec n$ colinéaire à $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow {AC}$ est bien un vecteur normal au plan $(ABC)$