Bonjour,
J'ai fais un exercice en maths mais j'aurais voulu avoir un avis sur une question,voici cet exo:
L'espace est rapporté à un repère orthonormale(O,i,j,k)
On note (D) la drtoite passant par les points A(1,-2,-1)et B(3,-5,-2)
1)donner la représentation de la droite(D):
2)On note(D')la droite ayant pour représentation paramétrique:
(D'):
{x=2-k ;y=-2-3t,z=k
Montrer que (D) et (D') ne sont pas coplanaire.
Mes réponses:
1) le vecteur AB a pour coordonnées AB(2,-3,-1); et AB est un vecteur directeur donc la représentation paramétrique sera:
{x=1+2t;y=-2-3t;z=-1-t.
Ensuite les droites sont coplanaires si elles sont parallèles,sécante ou confondue.
Alors parrallèles,cela sous entend que leur vecteur directeur devraient être proportionels et qu'on aurait quelque chose que AB=k*vecteur directeur D' ce qui n'est pas le cas à vue d'oeil,l'un des vecteur directeur de D' c'est (-1,2,1) qui n'est pas proportionel à AB(2-3,-1).
Ces droite sont elles confondues?,alors la petit doutes,confondu cela veut dire que les équations de droite sont égales?
Sont-elles sécantes,alors d'après ce que j'ai compris il faut prendre les deux représentation de D et D' et écrire:
{1+2t=2-k;-2-3t=-2-3t;-1-t=k. Et de voir si on peut exprimer t et fonction de t',et si ont ne peut pas exprimer t' en fonction de t ,le sytème n'admet pas de solution:
Mais honnêtement je ne réussi pas à résoudre se système,et je trouve des valeurs différentes pour t',j'ai t'=-1+2t,t'=-3-t mais rien ne me prouve que -1+2t est n'est pas égale à -3-3t.
Droites non coplanaires
Re: Droites non coplanaires
Bonjour
D'accord pour la question 1.
Ensuite, le problème vient qu'il y a une erreur de texte dans la représentation paramétrique de la droite $D'$. Il ne doit y avoir qu'un seul paramètre donc la représentation de la droite $D'$ est : $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&2-k \\ y&=&-2-3k \\ z&=&k\end{array}\right.$ $(k\in {\mathbb R}$
Comme vous l'avez écrit les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles (ce qui englobe les cas strictement parallèles et confondues)
On cherche ensuite si il existe des valeurs des paramètres $t$ et $k$ telles que les 2 représentations paramétriques donnent le même point donc on cherche à résoudre le système $\left\{\begin{array}{rcl}1+2t&=&2-k \\ -2-3t&=&-2-3k \\ -1-t&=&k\end{array}\right.$
De manière évidente, la seconde égalité n'est vérifiée que pour $t=k$.
En remplaçant dans la troisième on obtient $k=t=-\frac{1}{2}$ mais ces valeurs ne vérifient pas la première égalité donc le système n'a pas de solution, ce qui prouve que les droites ne sont pas sécantes.
D'accord pour la question 1.
Ensuite, le problème vient qu'il y a une erreur de texte dans la représentation paramétrique de la droite $D'$. Il ne doit y avoir qu'un seul paramètre donc la représentation de la droite $D'$ est : $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&2-k \\ y&=&-2-3k \\ z&=&k\end{array}\right.$ $(k\in {\mathbb R}$
Comme vous l'avez écrit les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles (ce qui englobe les cas strictement parallèles et confondues)
On cherche ensuite si il existe des valeurs des paramètres $t$ et $k$ telles que les 2 représentations paramétriques donnent le même point donc on cherche à résoudre le système $\left\{\begin{array}{rcl}1+2t&=&2-k \\ -2-3t&=&-2-3k \\ -1-t&=&k\end{array}\right.$
De manière évidente, la seconde égalité n'est vérifiée que pour $t=k$.
En remplaçant dans la troisième on obtient $k=t=-\frac{1}{2}$ mais ces valeurs ne vérifient pas la première égalité donc le système n'a pas de solution, ce qui prouve que les droites ne sont pas sécantes.
Re: Droites non coplanaires
Effectivement ,grosse erreur avec D' je comprend maintenant,merci beaucoup c'est sympa,en fait ce n'est pas si compliqué que ça.