Bonjour, j'essaie d'effectuer l'exercice suivant depuis quelques jours et je bloque sur quelques points :
Soient (O,U⃗ ,V⃗ ) un repère orthonormé du plan P, i⃗ et j⃗ deux vecteurs unitaires. On appelle θ l'angle (géométrique) de ces deux vecteurs. On considère le point R de coordonnées (p,q) dans ce repère, avec p≠0 et q≠0.
1)a) Quelle condition doit vérifier θ pour que (O,i⃗ ,j⃗ ) constitue un repère du plan P ?
On supposera dans le reste de l'exercice que cette condition est vérifiée.
b) On pose V⃗ =xi⃗ +yj⃗ et V⃗ ′=x′i⃗ +yj⃗ . Calculer V⃗ .V⃗ ′ et ||V⃗ ||.
2) On considère le point R de coordonnées (p,q) dans le repère (O,i⃗ ,j⃗ ) avec p≠0 et q≠0. On notera (Ox) [respectivement (Oy)] la droite passant par O et de vecteur directeur i⃗ (respectivement j⃗ ).
a) déterminer un point P sur (Ox) et un point Q sur (Oy) tels que OPRQ soit un parallélogramme.
b) Ecrire une équation de la droite (PQ) dans le repère (O,i⃗ ,j⃗ ).
3) Soient (D) la droite passant par O et perpendiculaire à (PQ) et H l'intersection des droites (D) et (PQ).
a) Ecrire une équation de la droite (D) dans le repère (O,i⃗ ,j⃗ ).
b) Vérifier que :
∀(p,q)≠(0,0),p2+q2−2pqcosθ>0
c) Calculer les coordonnées du point H dans le repère (O,i⃗ ,j⃗ ).
d) En déduire la distance du point O à la droite (PQ) en fonction de p, q et θ.
Déjà, à la première question, je trouve l'énoncé pas clair du tout : est-ce que (O,i,j) est un repère orthonormé du plan ou un repère quelconque ce qui change toute la suite de l'exercice...
Repère
Re: Repère
Bonsoir
Je vais étudier cela demain.
Je vais étudier cela demain.
Re: Repère
1. a) $\theta$ étant un angle géométrique, on doit avoir $\theta \neq 0$ et $\theta \neq \pi$
1. b) Par hypothèse $||\vec i|| =||\vec j|| =1 $ et $\vec i \cdot \vec j =\vec j \cdot \vec i =\cos \theta$
En développant, on a alors : $\overrightarrow V \cdot \overrightarrow{V'}=xx'+yy'+(xy'+x'y)\cos \theta$
$||\overrightarrow V||=\sqrt{x^2+y^2 +2xy\cos \theta}$
2. a) $P(p,0)$ et $Q(0,q)$
2. b) $M(x,y)\in (PQ)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{PM} (x-p,y)$ et $\overrightarrow{PQ} (-p,q)$ sont colinéaires ce qui donne comme équation : $qx+py-pq=0$.
3. a) $M(x,y) \in (D)$ si et seulement si $\overrightarrow {OM}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$
En utilisant l'expression obtenue en 1. b), on obtient : $x(-p)+yq+(xq-py)\cos \theta =0$ soit $(-p+q\cos \theta)x+(q-p\cos \theta)y=0$
3. b) D'après le second résultat De 1. b), $p^2+q^2-2pq\cos \theta=||\overrightarrow {PQ}||^2$ donc strictement positif
3. c) On résout le système formé par les équations de $(D)$ et $(PQ)$ (un peu fastidieux)
J'ai trouvé : $x_H=\frac{pq(q-p\cos \theta)}{p^2+q^2-2pq\cos \theta}$ et $y_H=\frac{pq(p-q\cos \theta)}{p^2+q^2 -2pq \cos \theta}$
3. d) La distance de $O$ à la droite $(PQ)$ est égale à $||\overrightarrow{OH}||$
Un calcul un peu pénible. Toujours en utilisant le résultat de 1. b) , j'ai obtenu : $||\overrightarrow {OH}||=\frac{|pq|\sin \theta}{p^2+q^2 -2pq\cos \theta}$
1. b) Par hypothèse $||\vec i|| =||\vec j|| =1 $ et $\vec i \cdot \vec j =\vec j \cdot \vec i =\cos \theta$
En développant, on a alors : $\overrightarrow V \cdot \overrightarrow{V'}=xx'+yy'+(xy'+x'y)\cos \theta$
$||\overrightarrow V||=\sqrt{x^2+y^2 +2xy\cos \theta}$
2. a) $P(p,0)$ et $Q(0,q)$
2. b) $M(x,y)\in (PQ)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{PM} (x-p,y)$ et $\overrightarrow{PQ} (-p,q)$ sont colinéaires ce qui donne comme équation : $qx+py-pq=0$.
3. a) $M(x,y) \in (D)$ si et seulement si $\overrightarrow {OM}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$
En utilisant l'expression obtenue en 1. b), on obtient : $x(-p)+yq+(xq-py)\cos \theta =0$ soit $(-p+q\cos \theta)x+(q-p\cos \theta)y=0$
3. b) D'après le second résultat De 1. b), $p^2+q^2-2pq\cos \theta=||\overrightarrow {PQ}||^2$ donc strictement positif
3. c) On résout le système formé par les équations de $(D)$ et $(PQ)$ (un peu fastidieux)
J'ai trouvé : $x_H=\frac{pq(q-p\cos \theta)}{p^2+q^2-2pq\cos \theta}$ et $y_H=\frac{pq(p-q\cos \theta)}{p^2+q^2 -2pq \cos \theta}$
3. d) La distance de $O$ à la droite $(PQ)$ est égale à $||\overrightarrow{OH}||$
Un calcul un peu pénible. Toujours en utilisant le résultat de 1. b) , j'ai obtenu : $||\overrightarrow {OH}||=\frac{|pq|\sin \theta}{p^2+q^2 -2pq\cos \theta}$