Bonsoir,
J'aimerai avoir la correction d'une partie de ce ds svp
on définit pour tout $(P, Q)\in R[X]^2$,
$<P|Q>=\int_{-1}{1} P(t).Q(t). \sqrt{1-t^2}dt$
on définit la suite $(Un)_{n \in N} \in R[X]^N$ par recurrence par:
$U_0 =1 U_1 = 2X et \forall n \in N , U_{n+2}=2X.U_{n+1} - U_n $
1 . démontrer que $<.|.> $ est un produit scalaire
2.calculer U_2 et U_3
3 . démontrer que pour tout $n \in N$ et pour tout $x \in R$,
$sin((n+1)x)=sin(x).U_n(cos(x)) $
4 . Calculer pour tout $n\in N$ le degré et le coefficient dominant de $U_n$
5. Soit $n \in N$ calculer les racines de $U_n$
6 . démontrer que la famille $(U_n)_{n\in N} $ est orthogonale, et préciser la norme de ses vecteurs
7.montrer que pour tout $n \in N$, la famille$ (U_0,...,U_n) $ est une base de $R_n[X] $
merci
géométrie euclidienne
Re: géométrie euclidienne
Bonjour
1. La symétrie et la bilinéarité sont évidentes.
$<P|P>$ est l'intégrale d'une fonction continue positive sur [-1,1] donc l'intégrale est positive et elle est nulle si et seulement si la fonction est nulle donc si et seulement si $P=0$
2. $U_2=4X^2-1$ et $U_3=8x^3-4X$.
3. Une démonstration par récurrence.
L'égalité est vérifiée pour $n=0$ et $n=1$
On la suppose vérifiée jusqu'au rang $n$
$\sin x U_{n+1}(\cos x)=\sin x(2\cos x U_n(\cos x))-\sin x U_{n-1}(\cos x)=2\cos x \sin ((n+1)x)-\sin (nx)$
On développe $\sin ((n+1)x)$
$\sin x U_{n+1}(\cos x)=2\cos x[\sin (nx)\cos x +\sin x \cos (nx)]-\sin (nx)$
$=2\cos^2 x \sin (nx) +2\cos x \sin x \cos (nx)-\sin (nx)$
$=(2\cos^2x -1)\sin (nx)+\sin (2x)\cos (nx)$
$=\cos (2x)\sin (nx)+\sin (2x)\cos (nx)$
$=\sin ((n+2)x)$
L'égalité est donc vérifiée au rang $(n+1)$
4. On montre par récurrence que $U_n$est de degré n et de coefficient dominant $2^n$
C'est vérifié pour les rangs 0 et 1.
On suppose vérifié jusqu'au rang $(n+1)$ donc : $U_{n+1}=2^{n+1} X^{n+1} + P$ où $P$ est de degré inférieur ou égal à $n$.
$U_n=2^nX^n+Q$ où $Q$ est de degré inférieur ou égal à $n-1$.
On a alors :
$U_{n+2}=2X(2^{n+1}X^{n+1}+P) -(2^nX^n +Q)= 2^{n+2}X^{n+2}+2XP-2^nX^n-Q=2^{n+2}X^{n+2}+R(X)$ où $R(X)$ est de degré inférieur ou égal à $(n+1)$
La propriété est donc vérifiée au rang $n+2$.
La suite un peu plus tard.
1. La symétrie et la bilinéarité sont évidentes.
$<P|P>$ est l'intégrale d'une fonction continue positive sur [-1,1] donc l'intégrale est positive et elle est nulle si et seulement si la fonction est nulle donc si et seulement si $P=0$
2. $U_2=4X^2-1$ et $U_3=8x^3-4X$.
3. Une démonstration par récurrence.
L'égalité est vérifiée pour $n=0$ et $n=1$
On la suppose vérifiée jusqu'au rang $n$
$\sin x U_{n+1}(\cos x)=\sin x(2\cos x U_n(\cos x))-\sin x U_{n-1}(\cos x)=2\cos x \sin ((n+1)x)-\sin (nx)$
On développe $\sin ((n+1)x)$
$\sin x U_{n+1}(\cos x)=2\cos x[\sin (nx)\cos x +\sin x \cos (nx)]-\sin (nx)$
$=2\cos^2 x \sin (nx) +2\cos x \sin x \cos (nx)-\sin (nx)$
$=(2\cos^2x -1)\sin (nx)+\sin (2x)\cos (nx)$
$=\cos (2x)\sin (nx)+\sin (2x)\cos (nx)$
$=\sin ((n+2)x)$
L'égalité est donc vérifiée au rang $(n+1)$
4. On montre par récurrence que $U_n$est de degré n et de coefficient dominant $2^n$
C'est vérifié pour les rangs 0 et 1.
On suppose vérifié jusqu'au rang $(n+1)$ donc : $U_{n+1}=2^{n+1} X^{n+1} + P$ où $P$ est de degré inférieur ou égal à $n$.
$U_n=2^nX^n+Q$ où $Q$ est de degré inférieur ou égal à $n-1$.
On a alors :
$U_{n+2}=2X(2^{n+1}X^{n+1}+P) -(2^nX^n +Q)= 2^{n+2}X^{n+2}+2XP-2^nX^n-Q=2^{n+2}X^{n+2}+R(X)$ où $R(X)$ est de degré inférieur ou égal à $(n+1)$
La propriété est donc vérifiée au rang $n+2$.
La suite un peu plus tard.
Re: géométrie euclidienne
5 . On utilise le résultat de la question 3.
$\sin((n+1)x)=0\Longleftrightarrow x=\frac{k}{n+1} \pi,\ k\in {\mathbb Z}$
Les racines de $U_n$ sont de la forme $\cos (\frac{k}{n+1}\pi)$
Étant donné la périodicité et la parité de la fonction cosinus, il suffit de considérer $k\in \{0,\cdots , (n+1)\}$
$U_n$ étant de degré $n$ possède $n$ racines.
L'ensemble des racines de $U_n$ est donc $\{\cos (\frac{k}{n+1}\pi)\}$, $k\in \{1,\cdots , n\}$, valeurs qui n'annulent pas $\sin x$
6 . Dans l'expression du produit scalaire on fait un changement de variable avec $t=\cos x$, $x\in [0, \pi]$
$<P|Q>=\int_{\pi}^0 P(\cos x) Q(\cos x)\sin x (-\sin x) dx =\int_0^{\pi} \sin x P(\cos x) \sin x Q(\cos x) dx$
On a donc pour $n\neq p$, $<U_n,U_p>=\int_0^{\pi} \sin x U_n(\cos x) \sin x U_p(\cos x) dx$
Soit, en utilisant la question 3 : $<U_n,U_p>=\int_0^{\pi} \sin ((n+1)x)\sin((p+1)x) dx$
Avec les formules d'addition :
$<U_n,U_p>=\frac{1}{2} \int_0^{\pi} [\cos ((n-p)x) -\cos ((n+p)x)] dx =\frac{1}{2} [\frac{1}{n-p}\sin ((n-p)x) -\frac{1}{n+p} \sin ((n+p)x)]_0^{\pi}=0$
Donc la famille $(U_n)$ est orthogonale.
$||U_n||^2=\int_0^{\pi} ((\sin x U_n(\cos x))^2 dx =\int_0^{\pi}\sin^2 ((n+1)x) dx=\frac{1}{2} \int_0^{\pi} (1-\cos((2n+2)x))dx$
$||U_n||^2=\frac{1}{2} [x-\frac{1}{2n+2} \sin((2n+2)x)]_0^{\pi}=\frac{1}{2} \pi $
$||U_n||=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
7 . Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
La famille $(U_0, \cdots , U_n)$ est une famille libre de $(n+1)$ vecteurs dans un espace vectoriel de dimension $(n+1)$ donc c'est une base de $R_n[X]$.
$\sin((n+1)x)=0\Longleftrightarrow x=\frac{k}{n+1} \pi,\ k\in {\mathbb Z}$
Les racines de $U_n$ sont de la forme $\cos (\frac{k}{n+1}\pi)$
Étant donné la périodicité et la parité de la fonction cosinus, il suffit de considérer $k\in \{0,\cdots , (n+1)\}$
$U_n$ étant de degré $n$ possède $n$ racines.
L'ensemble des racines de $U_n$ est donc $\{\cos (\frac{k}{n+1}\pi)\}$, $k\in \{1,\cdots , n\}$, valeurs qui n'annulent pas $\sin x$
6 . Dans l'expression du produit scalaire on fait un changement de variable avec $t=\cos x$, $x\in [0, \pi]$
$<P|Q>=\int_{\pi}^0 P(\cos x) Q(\cos x)\sin x (-\sin x) dx =\int_0^{\pi} \sin x P(\cos x) \sin x Q(\cos x) dx$
On a donc pour $n\neq p$, $<U_n,U_p>=\int_0^{\pi} \sin x U_n(\cos x) \sin x U_p(\cos x) dx$
Soit, en utilisant la question 3 : $<U_n,U_p>=\int_0^{\pi} \sin ((n+1)x)\sin((p+1)x) dx$
Avec les formules d'addition :
$<U_n,U_p>=\frac{1}{2} \int_0^{\pi} [\cos ((n-p)x) -\cos ((n+p)x)] dx =\frac{1}{2} [\frac{1}{n-p}\sin ((n-p)x) -\frac{1}{n+p} \sin ((n+p)x)]_0^{\pi}=0$
Donc la famille $(U_n)$ est orthogonale.
$||U_n||^2=\int_0^{\pi} ((\sin x U_n(\cos x))^2 dx =\int_0^{\pi}\sin^2 ((n+1)x) dx=\frac{1}{2} \int_0^{\pi} (1-\cos((2n+2)x))dx$
$||U_n||^2=\frac{1}{2} [x-\frac{1}{2n+2} \sin((2n+2)x)]_0^{\pi}=\frac{1}{2} \pi $
$||U_n||=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
7 . Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
La famille $(U_0, \cdots , U_n)$ est une famille libre de $(n+1)$ vecteurs dans un espace vectoriel de dimension $(n+1)$ donc c'est une base de $R_n[X]$.