Limite fonction2

[Jean37]

Bonjour,je n'ai pas bien compris cet exercice:
1/ Si la fonction f(.) vérifie : 1 ≤ f(x) ≤ 2 , ∀x ∈ R , étudier les limites suivantes :
(1)
x→+∞lim f(x)/x;(2)x→+∞lim xf(x) ;(3)x→−∞lim xf(x) ; (4)x→0 lim xf(x)

2/ Calculer la limite en +∞ de la fonction f(.) définie sur R par f(x) = xsinx/(x²+1).

1) f(x) est compris entre 1 et 2 donc déja f(x) est >0,positif pour tout x,mais vu que le dénominateur c'est x,alors la limite en +linfini c'est 0,ça donnerai la limite de "1/l'infini".
2)la on multipli par x qui tend vers l'infini alors ke f(x) en compris entre 1 et 2,donc lim=+l'infini.
3)-l'infini
4)x tend vers 0,donc lim du produit=0.
2) xsinx/(x²+1)= (x*(sinx))/x(x+(1/x))=sinx/((x+(1/x)) et quand x tend vers l'infini on a 1/x tend vers ,0,x tend vers l'infini et sinx n'a pas de limite en l'infini mais je pense que la limite de tout ça c'est 0,sin(x) est compris entre -1 et 1 donc c'est la limite de -1/l'infini ou 1/l'infini.

.

[Job]

Bonjour

1. Les limites sont exactes mais mal justifiées.
a) Pour $x>0,\ \frac{1}{x} \leq \frac{f(x)}{x} \leq \frac{2}{x}$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} =0$ et $\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x}=0$ donc par encadrement (appelé aussi théorème des gendarmes) $\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} =0$.

2. Pour $x>0,\ 1\leq f(x) \Longrightarrow x\leq xf(x)$.
$\lim_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc $\lim_{x\to +\infty}xf(x)=+\infty$

3. Pour $x<0,\ 1\leq f(x) \Longrightarrow x\geq x f(x)$ (on a multiplié par un négatif, l'inégalité change de sens).
$\lim_{x\to -\infty} x=-\infty$ donc $\lim_{x\to -\infty}xf(x)=-\infty$

4. $|x|\leq |xf(x)|\leq 2|x]$.
$\lim_{x\to 0} |x|=0$ donc, par encadrement, $\lim_{x\to 0} xf(x)=0$

2. $\forall x \in {\mathbb R},\ |\sin x|\leq 1$ donc pour $x\geq 0,\ |f(x)|\leq \frac{x}{x^2+1}$
(On passe par la valeur absolue car le sinus change de signe ).
$\lim_{x\to +\infty} \frac{ x}{x^2+1}=\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{x^2} =\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} =0$
Donc $\lim_{x\to +\infty} \frac{x\sin x}{x^2+1}=0$.