Bonjour,
j'ai fais cet exo:
En utilisant des limites usuelles et les règles de calcul, rechercher les limites des fonctions suivantes au
point indiqué entre parenthèses:
(1) f(x) = (3x² + 2x − 1)/(x²-1) (x0 = 0 et + ∞) ; (2) f(x) = ($\sqrt{x}$ -3)/(x-9) (x0 = 9); (3) f(x) = (x+$\frac{1}{x}$-2)/(x-1) (x0 = 1) ;(4) f(x) = $\sqrt{ln(x²+2)}$-$\sqrt{ln(x²+1)}$ (+∞);
(5) f(x) =$\sqrt{x²+1}$ − x (+∞);
Et pour le 1) en 0,lim=1 (-1/-1) en l'infini on a 3x²/x²=3 donc lim=3;pour le 2) on a une forme indéterminé 0/0, donc on va factorisé pour obtenir :
($\sqrt{x}$ -3)/($\sqrt{x}$ -3)($\sqrt{x}$ +3)= $\sqrt{x}$+3/(x+3) et la lim en9 c'est 12/12=1.
Sinon les autre je n'ai pas trouvé.
Limite usuelle5
Re: Limite usuelle5
(2) Une faute à la fin. Quand on simplifie par $\sqrt x -3$ on obtient : $\frac{1}{\sqrt x +3}$ et la limite au point $x_0=9$ est donc $\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$
(3) $\frac{x +\frac{1}{x} -2}{x-1}=\frac{x^2+1-2x}{x(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{x(x-1)}=\frac{x-1}{x}$ si $x\neq 1$
La limite en $x_0=1$ est donc égale à 0.
(4) En multipliant et en divisant par l'expression conjuguée, on obtient :
$\frac{\ln (x^2+2)-\ln (x^2+1)}{\sqrt{\ln(x^2+2)}+\sqrt{\ln (x^2+1)}}=\frac{\ln (\frac{x^2+2}{x^2+1})}{\sqrt{\ln(x^2+2)}+\sqrt{\ln (x^2+1)}}$
$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+2}{x^2+1}=1$ donc la limite du numérateur est égale à 0 et la limite du dénominateur est égale à $+\infty$ donc la limite cherchée est égale à 0.
(5) On multiplie et on divise par l'expression conjuguée, on obtient : $ \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$
Donc la limite en $+\infty$ est égale à 0.
(3) $\frac{x +\frac{1}{x} -2}{x-1}=\frac{x^2+1-2x}{x(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{x(x-1)}=\frac{x-1}{x}$ si $x\neq 1$
La limite en $x_0=1$ est donc égale à 0.
(4) En multipliant et en divisant par l'expression conjuguée, on obtient :
$\frac{\ln (x^2+2)-\ln (x^2+1)}{\sqrt{\ln(x^2+2)}+\sqrt{\ln (x^2+1)}}=\frac{\ln (\frac{x^2+2}{x^2+1})}{\sqrt{\ln(x^2+2)}+\sqrt{\ln (x^2+1)}}$
$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+2}{x^2+1}=1$ donc la limite du numérateur est égale à 0 et la limite du dénominateur est égale à $+\infty$ donc la limite cherchée est égale à 0.
(5) On multiplie et on divise par l'expression conjuguée, on obtient : $ \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$
Donc la limite en $+\infty$ est égale à 0.