Salut,j'ai fais cet exercice:
Exercice 10
Soit f : R^3 → R^3 définie par f(x, y,z) = (x + y, x − y, x + λz)
2. Comment choisir λ pour que f(.) soit injective? surjective?
Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y)=f(z) => x=y=z.
Donc soit x,y dans R et z dans R.
Citation:
f(x,y,z)=f(x',y',z') <=> (x+y,x-y,x+λz)=(x'+y',x'-y',x'+λz')=(x"+y",x"-y",x"+λz")<=>
{x+y=x'+y'=x"+y"
{x− y=x' −y'=x"−y"
{x+λz=x'+λz'=x"+λz" donc:
(x,y,λz)=(x',y',λz')=(x",y",λz"). <=>x=x'=x",y=...
Et f est injective si Ker(f)={0E}
Cependant quand je résous le système:
{x+y=0
{x− y=0
{x+λz=0
Je trouve comme solution(0,0,0) pas sûr que c'est bon) et on m'a dit qu'il faut que λ soit différent de 0 pour que f soit injective,mais je ne comprend pas pourquoi.
nombre,application.
Re: nombre,application.
Bonjour
Pour l'injectivité, ta première méthode n'est pas correcte : $f(x,y,z)=f(x',y',z')\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x+y=&=&x'+y' \\ x-y&=&x'-y' \\ x+\lambda z&=&x'+\lambda z'\end{array}\right.$ et il ne faut pas considérer un 3ème triplet.
La seconde méthode avec le noyau est beaucoup plus efficace.
On obtient $x=y=0$ et donc on doit avoir $\lambda z = 0 \Longrightarrow z=0$. Pour que cette implication soit vraie, il faut que $\lambda \neq 0$ car si $\lambda =0$ alors $z$ peut prendre n'importe quelle valeur et le noyau n'est pas réduit à {(0,0,0)}.
$f$ est surjective équivaut à $Im(f)={\mathbb R}^3$ soit encore $dim(Im(f))=3$ donc à $dim(Ker(f))=0$ soit $f$ injective.
Donc la condition est la même : $\lambda \neq 0$
Pour l'injectivité, ta première méthode n'est pas correcte : $f(x,y,z)=f(x',y',z')\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x+y=&=&x'+y' \\ x-y&=&x'-y' \\ x+\lambda z&=&x'+\lambda z'\end{array}\right.$ et il ne faut pas considérer un 3ème triplet.
La seconde méthode avec le noyau est beaucoup plus efficace.
On obtient $x=y=0$ et donc on doit avoir $\lambda z = 0 \Longrightarrow z=0$. Pour que cette implication soit vraie, il faut que $\lambda \neq 0$ car si $\lambda =0$ alors $z$ peut prendre n'importe quelle valeur et le noyau n'est pas réduit à {(0,0,0)}.
$f$ est surjective équivaut à $Im(f)={\mathbb R}^3$ soit encore $dim(Im(f))=3$ donc à $dim(Ker(f))=0$ soit $f$ injective.
Donc la condition est la même : $\lambda \neq 0$
Re: nombre,application.
Je comprend mieux pourquoi λ doit être différent de 0,donc par exemple,si λ=0 on a toujours x=y=0(résolution du système) mais si z=1 ou 2 u...,alors λz=0 donc il y aura plusieur s Ker(f) par exemple {(0,0,1)} ou {(0,0,2)},Or pour que f soit injective,il faut que Ker(f)= {(0,0,0)}.