Bonjour,
J'ai fais cet exercice:
Soit f (.) l’application de
R3 dans R3 définie par :∀(x, y,z) ∈ R^3, f(x, y,z) = (x + y + z, x − y − z, 2y + 2z).
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer ker(f). En donner une base.
3. En utilisant le théorème du rang, calculer dim Im(f).
4. a) Déterminer trois vecteurs u1, u2, u3 de R3
tels que :
f(x, y,z) = xu1 + yu2 + zu3
b) Montrer que la famille {u1, u2, u3} est liée.
c) En déduire Im(f). et en donner une base.
5. On pose g = f °f.
a) Justifier simplement que g est linéaire.
b) Calculer, pour tout (x, y,z) ∈ R3
, g(x, y,z).
c) En déduire Im(g).
1)il faut prouver que:
f(u+v)=f(v)+f(u) avec u=(x,y,z) v=(x',y'z') w=(x",y",z") donc u+v+w=(x+x+x"',y+y'+y",z+z'+z") et f(x+x'+x",y+y'+y",z+z'+z")
=... (calcul habituel).
2)Il faut résoudre ce système:
{x + y + z=0
{x − y − z
{2y + 2z=0 et les solution sont: S={(0,z,-z)} et {(0,-z,z)} donc Ker(f)={(0,z,-z)} et une base serait:{(0,1,-1)}
3)dim(Im(f))=2 car Dim(E)=3 et Dim(Ker(f))=1(engendré par un seul vecteur {(0,1,-1)}).
4 a) f(x,y,z)= x(0,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,-1).
b) Montrer que la famille {u1, u2, u3} est liée,alors soit α,β,γ; αU1+βU2+γU3=(0,0,0)+(0,β,0)+(0,0,γ)= (0,β,γ)=(0,0,0) donc β=γ=0 mais α différent de 0 ,par conséquent la famille est lié.
c) Im(f)=R² mais une base,je ne sais pas.
5) c'est une composé d'une drôle de fonction ...je ne sais pas.
Im(f),Ker(f)
Re: Im(f),Ker(f)
Bonjour
Pour les 3 premières questions c'est bon.
4. a) Ce que tu as écrit donne $f(x,y,z)=(0,y,-z)$ donc ce n'est pas ça.
Dans $f(x,y,z)$ on trouve $x$ dans les 2 premières composantes avec comme coefficient 1, $y$ dans les 3 composantes avec comme coefficients respectifs 1, -1,2 et même chose pour $z$.
$f(x,y,z)=x(1,1,0)+y(1,-1,2)+z(1,-1,2)$ donc $u_1=(1,1,0)$ et $u_2=u_3=(1,-1,2)$
b) $u_2=u_3$ donc la famille est liée.
c) Les vecteurs $u_1$ et $u_2$ ne sont pas colinéaires et on sait que $dim(Im (f))=2$ donc $Im(f)$ est le sous-espace vectoriel de base $(u_1, u_2)$.
4. a) La composée de 2 applications linéaires est linéaire donc $g$ est linéaire.
b) $g(x,y,z)=f(x+y+z, x-y-z, 2y+2z)$.
En posant $X=x+y+z, Y=x-y-z, Z=2y+2z$, la première composante de $g(x,y,z)=f(X,Y,Z)$ est égale à $X+Y+Z=2x+2y+2z$
Même raisonnement pour les 2 autres composantes.
On obtient alors $g(x,y,z)=(2x+2y+2z, 0, 2x+2y+2z)$
c) $g(x,y,z)=(2x+2y+2z)(1,0,1)$ donc $Im(g)$ est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur $(1,0,1)$
Pour les 3 premières questions c'est bon.
4. a) Ce que tu as écrit donne $f(x,y,z)=(0,y,-z)$ donc ce n'est pas ça.
Dans $f(x,y,z)$ on trouve $x$ dans les 2 premières composantes avec comme coefficient 1, $y$ dans les 3 composantes avec comme coefficients respectifs 1, -1,2 et même chose pour $z$.
$f(x,y,z)=x(1,1,0)+y(1,-1,2)+z(1,-1,2)$ donc $u_1=(1,1,0)$ et $u_2=u_3=(1,-1,2)$
b) $u_2=u_3$ donc la famille est liée.
c) Les vecteurs $u_1$ et $u_2$ ne sont pas colinéaires et on sait que $dim(Im (f))=2$ donc $Im(f)$ est le sous-espace vectoriel de base $(u_1, u_2)$.
4. a) La composée de 2 applications linéaires est linéaire donc $g$ est linéaire.
b) $g(x,y,z)=f(x+y+z, x-y-z, 2y+2z)$.
En posant $X=x+y+z, Y=x-y-z, Z=2y+2z$, la première composante de $g(x,y,z)=f(X,Y,Z)$ est égale à $X+Y+Z=2x+2y+2z$
Même raisonnement pour les 2 autres composantes.
On obtient alors $g(x,y,z)=(2x+2y+2z, 0, 2x+2y+2z)$
c) $g(x,y,z)=(2x+2y+2z)(1,0,1)$ donc $Im(g)$ est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur $(1,0,1)$
Re: Im(f),Ker(f)
Ok merci,mais pour la question 4c,on peut aussi dire que Im(f) est le sous-espace vectoriel de base (u1,u3) puisque u3=u2 non?
Re: Im(f),Ker(f)
ExactJean37 a écrit : pour la question 4c,on peut aussi dire que Im(f) est le sous-espace vectoriel de base (u1,u3) puisque u3=u2 non?