Salut,j'ai fais cet exercice et je voulais savoir ce que vous pensé de ce que j'ai fais:
Exercice 5
Démontrer que l’application f : R^2 → R
3 définie par f(x, y) = (x − y, x, x + y) est linéaire, injective
et non surjective.
Alors pour le 1 il faut prouver que
Citation:
f(u+v)=f(v)+f(u) u=(x,y) v=(x',y') et w=(x",y") donc u+v+w=(x+x'+x",y+y'+y") et f(x+x'+x",y+y'+y")= ((x+x'+x")-(y+y'+y"),(x+x'+x"),(x+x'+x")+(y+y'+y"))= ((x-y)+(x'-y')+(x"-y"),x+x'+x",(x+y)+(x'+y')+(x"+y")) = (x-y,x,x+y)+(x'-y',x',x'+y')+...=f(x,y)+f(x',y')+f(x",y").
Ensuite λu=λ(x,y)=(λx,λy) et f(λx,λy)= (λx − λy, λx, λx + λy) =λf(x,y) donc f(x,y) est linéaire.
2)Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y) => x=y.
Donc soit x dans R et y dans R.
Citation:
f(x,y)=f(x',y') <=> (x-y,x,x+y) = (x'-y',x'+y')=> (x,y)=(x',y')
donc f est injective.
Après pour le "non surjective' je ne sais pas.
surjective-injective.
Re: surjective-injective.
Bonsoir
1) C'est exact.
2) pour l'injectivité la démarche est correcte mais il faudrait détailler un peu plus.
Soit $(a,b,c)$ un triplet de réels. Pour que $(a,b,c)$ soit l'image de $(x,y,z)$ on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl}x-y&=&a\\ x&=&b\\ x+y&=&c\end{array}\right.$
On doit alors avoir $\left\{\begin{array}{rcl}y &=&b-a \\ y&=&c-b\end{array}\right.$
Pour que ce soit compatible on doit avoir $b-a=c-b$ soit $a+c=2b$
Si cette condition n'est pas remplie, $(a,b,c)$ n'a pas d'antécédent.
Par exemple le triplet (1,0,1) n'a pas d'antécédent.
L'application n'est donc pas surjective.
1) C'est exact.
2) pour l'injectivité la démarche est correcte mais il faudrait détailler un peu plus.
Soit $(a,b,c)$ un triplet de réels. Pour que $(a,b,c)$ soit l'image de $(x,y,z)$ on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl}x-y&=&a\\ x&=&b\\ x+y&=&c\end{array}\right.$
On doit alors avoir $\left\{\begin{array}{rcl}y &=&b-a \\ y&=&c-b\end{array}\right.$
Pour que ce soit compatible on doit avoir $b-a=c-b$ soit $a+c=2b$
Si cette condition n'est pas remplie, $(a,b,c)$ n'a pas d'antécédent.
Par exemple le triplet (1,0,1) n'a pas d'antécédent.
L'application n'est donc pas surjective.
Re: surjective-injective.
Ok,merci encore pour ton aide .