surjective-injective.

[Jean37]

Salut,j'ai fais cet exercice et je voulais savoir ce que vous pensé de ce que j'ai fais:
Exercice 5
Démontrer que l’application f : R^2 → R
3 définie par f(x, y) = (x − y, x, x + y) est linéaire, injective
et non surjective.
Alors pour le 1 il faut prouver que
Citation:
f(u+v)=f(v)+f(u) u=(x,y) v=(x',y') et w=(x",y") donc u+v+w=(x+x'+x",y+y'+y") et f(x+x'+x",y+y'+y")= ((x+x'+x")-(y+y'+y"),(x+x'+x"),(x+x'+x")+(y+y'+y"))= ((x-y)+(x'-y')+(x"-y"),x+x'+x",(x+y)+(x'+y')+(x"+y")) = (x-y,x,x+y)+(x'-y',x',x'+y')+...=f(x,y)+f(x',y')+f(x",y").


Ensuite λu=λ(x,y)=(λx,λy) et f(λx,λy)= (λx − λy, λx, λx + λy) =λf(x,y) donc f(x,y) est linéaire.
2)Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y) => x=y.
Donc soit x dans R et y dans R.
Citation:
f(x,y)=f(x',y') <=> (x-y,x,x+y) = (x'-y',x'+y')=> (x,y)=(x',y')
donc f est injective.
Après pour le "non surjective' je ne sais pas.

[Job]

Bonsoir

1) C'est exact.

2) pour l'injectivité la démarche est correcte mais il faudrait détailler un peu plus.

Soit $(a,b,c)$ un triplet de réels. Pour que $(a,b,c)$ soit l'image de $(x,y,z)$ on doit avoir $\left\{\begin{array}{rcl}x-y&=&a\\ x&=&b\\ x+y&=&c\end{array}\right.$
On doit alors avoir $\left\{\begin{array}{rcl}y &=&b-a \\ y&=&c-b\end{array}\right.$
Pour que ce soit compatible on doit avoir $b-a=c-b$ soit $a+c=2b$
Si cette condition n'est pas remplie, $(a,b,c)$ n'a pas d'antécédent.
Par exemple le triplet (1,0,1) n'a pas d'antécédent.
L'application n'est donc pas surjective.

[Jean37]

Ok,merci encore pour ton aide .