Aplication linéaire9

[Jean37]

Bonjour,
J'ai tenté de faire cet exercice:
Exercice 1
Montrer que les applications suivantes sont linéaires:
1. f : R → R définie par f(t) = 3t
2. g : R
2 → R
2 définie par g(x, y) = (2x + y, x − y)
3. h : R
2 → R
3 définie par h(x, y) = (x, x + 2y, x − y)

Dans le cas 1 je sais que pour montrer qu'une application est linéaire,il faut montrer que f(u+w)=f(w)+f(u) et f(lambda*u)=lambda*f(u).
Donc ça donne: f(u+v)= 3u+3v=f(u)+f(v)
Pour le 2,on peut écrire que g(u,u)=(3u,0) et g(v,v)=(3v,0) et g(u+v,u+v)=(3u+3v,0)=g(u,u)+g(v,v), ensuite g(λu,λu)= λ(3u,0)=λ*g(u,u) donc l'application est linéaire.

Pour le 3 définie par h(x, y) = (x, x + 2y, x − y);on fait la même chose ,donc h(u,u)=(u,3u,0) et h(v,v)=(v,3v,0) ensuite h(u+v,u+v)=(u+v,3u+3v,0)=h(u,u)+h(v,v) et h(λu,λu)= λ*(u,3u,0)=(λu,λ3u,0)=λ*h(u,u).
Donc l'application est linéaire,mais si je me trompe,veuillez me le dire.

[Job]

Bonjour

1. Il faut aussi écrire que $f(\lambda u) =3(\lambda u) =\lambda (3u)=\lambda f(u)$

2. Ce que tu as fait n'est pas correct : $u$ est ici égal à $(x,y)$ et par exemple $v=(x',y')$ donc $u+v=(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$

$g(x+x',y+y')=\left(2(x+x')+(y+y') , (x+x')-(y+y')\right)=\left((2x+y)+(2x'+y'), (x-y)+(x'-y')\right)$
$=(2x+y,x-y)+(2x'+y', x'-y')=g(x,y) +g(x',y')$

$\lambda u =\lambda (x,y) =(\lambda x , \lambda y)$
$g(\lambda x , \lambda y)=(2\lambda x +\lambda y , \lambda x -\lambda y)=\lambda (2x-y, x-y) =\lambda g(x,y)$

3. Se fait comme le 2.

[Jean37]

Merci beaucoup Job:).