cf piece jointe: comment passer de .. à .. ?
J'ai besoin d'aide s'il vous plait..
Statistiques (déduction formules)
Statistiques (déduction formules)
Dernière modification par emilie le 06 avril 2014, 22:27, modifié 1 fois.
Re: Statistiques (déduction formules)
Bonsoir
En posant $X_i=x_I-\bar x$ et $Y_I=y_i-\bar y$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
$(\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2\leq \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 \sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2$
En multipliant les 2 membres par $\frac{1}{n^2}$ :
$(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2$
Soit encore $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2\leq \sigma_x^2\sigma_y^2$
$a^2\leq b^2$ avec $b\geq 0$ équivaut à $-b\leq a \leq b$ donc l'inégalité précédente donne :
$-\sigma_x\sigma_y \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) \leq \sigma_x\sigma_y$
En posant $X_i=x_I-\bar x$ et $Y_I=y_i-\bar y$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
$(\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2\leq \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 \sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2$
En multipliant les 2 membres par $\frac{1}{n^2}$ :
$(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2$
Soit encore $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y))^2\leq \sigma_x^2\sigma_y^2$
$a^2\leq b^2$ avec $b\geq 0$ équivaut à $-b\leq a \leq b$ donc l'inégalité précédente donne :
$-\sigma_x\sigma_y \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) \leq \sigma_x\sigma_y$