Bonjour,
Est ce que quelqu'un sait comment on applique l'algorithme du rang pour determiner par exemple une dimension..., generalement c'est l'algorithme du rang et sa methode.?
Cordialement.
Algorithme du rang
Re: Algorithme du rang
Bonjour
C'est une application du pivot de Gauss, on cherche à obtenir une matrice triangulaire de même rang.
Je prends 2 exemples.
1) $A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{matrix}\right)$
On conserve $a_{11}$ qui est non nul et on veut que les autres termes de la premier colonne soient nuls. On fait donc $L_3 \leftarrow L_3-L_1$.
On obtient $\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -4\end{matrix}\right)$
On recommence le même procédé sur la matrice extraite : $\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ -2 & -4\end{matrix}\right)$
On fait donc $L_3\leftarrow L_3+2L_2$ ce qui donne $\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix}\right)$
Aucun des termes diagonaux n'est nul, la matrice est de rang 3.
2) $A=\left(\begin{matrix}0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
Comme le terme $a_{11}$ est nul, il faut commencer par permuter 2 lignes, par exemple les lignes 1 et 2.
On obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
$L_3\leftarrow L_3+L_1 $ on obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)$
On recommence le même procédé sur la matrice extraite $\left(\begin{matrix}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right)$
$L_3\leftarrow L_3+L_2$ on obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$
La dernière ligne est nulle donc la matrice est de rang 2.
C'est une application du pivot de Gauss, on cherche à obtenir une matrice triangulaire de même rang.
Je prends 2 exemples.
1) $A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{matrix}\right)$
On conserve $a_{11}$ qui est non nul et on veut que les autres termes de la premier colonne soient nuls. On fait donc $L_3 \leftarrow L_3-L_1$.
On obtient $\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -4\end{matrix}\right)$
On recommence le même procédé sur la matrice extraite : $\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ -2 & -4\end{matrix}\right)$
On fait donc $L_3\leftarrow L_3+2L_2$ ce qui donne $\left(\begin{matrix}2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix}\right)$
Aucun des termes diagonaux n'est nul, la matrice est de rang 3.
2) $A=\left(\begin{matrix}0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
Comme le terme $a_{11}$ est nul, il faut commencer par permuter 2 lignes, par exemple les lignes 1 et 2.
On obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
$L_3\leftarrow L_3+L_1 $ on obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)$
On recommence le même procédé sur la matrice extraite $\left(\begin{matrix}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right)$
$L_3\leftarrow L_3+L_2$ on obtient $\left(\begin{matrix}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$
La dernière ligne est nulle donc la matrice est de rang 2.
Re: Algorithme du rang
Bonjour,
Je parle pas de ca mais je vais te donner un corrigé d'examens ou ils ont utilisé cet algorithme.
http://formation.u-psud.fr/courses/L1MP ... PI20092010
- La Question 2 Exo 1
Je parle pas de ca mais je vais te donner un corrigé d'examens ou ils ont utilisé cet algorithme.
http://formation.u-psud.fr/courses/L1MP ... PI20092010
- La Question 2 Exo 1