Urgent matrice avant Vendredi

[Julien_]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse par MP rapide comme convenu par MP :








Merci d'avance

[Job]

Bonsoir
Exercice 9
1) Le système admet une solution unique si et seulement si le déterminant $\begin{vmatrix}1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}$ est différent de 0.
On le calcule, soit en combinant lignes ou colonnes ou par la règle de Sarrus ou en développant suivant une ligne ou une colonne.
Première méthode avec $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ on a $\begin{vmatrix}1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & -2\end{vmatrix}=1[(-1)(-2)-(-1)(-4)]=-2$
Deuxième méthode : règle de Sarrus : $1\times 5\times 1 +3\times 2 \times 1 +3\times 2\times 2 -1\times 5 \times 3 -2\times 3 \times 1-1\times 2\times 2 =-2$

2) Il s'agit de calculer les 3 déterminants qui figurent au numérateur.
Par exemple pour le premier, en développant suivant la première colonne :
$1\times \begin{vmatrix}5 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix}-0+1\times \begin{vmatrix}3 & 3\\5 & 2\end{vmatrix}=(5-4)+(6-15)=-8$ donc $x_0=\frac{-8}{-2}=4$
J'ai trouvé $y_0=\frac{4}{-2}=-2$ et $z_0=\frac{-2}{-2}=1$

3) On remplace $x_0,y_0,z_0$ par leurs valeurs respectives dans les 3 équations.

4) Le système s'écrit $\left\{\begin{array}{rcl}x&+&3y&+&3z&=&1-t \\ 2x&+&5y&+&2z&=&-5t \\ x&+&2y&+&z&=&1-2t\end{array}\right.$
On procède alors comme dans la question 2.
Le déterminant est celui de $A$ donc (-2)
On procède comme dans la question 2. Pour $x$ le numérateur est $\begin{vmatrix}1-t & 3 & 3 \\ -5t & 5 & 2 \\ 1-2t & 2 & 1\end{vmatrix}$

Pour $y$, c'est la deuxième colonne de $A$ que l'on remplace par $\begin{vmatrix}1-t \\ -5t \\ 1-2t\end{vmatrix}$ et pour $z$ la troisième .

J'ai trouvé $(x,y,z)=(2t-8,2t+4,-2t-2)$ (à vérifier)

[Job]

Exercice 10
1) Le déterminant du système est $\begin{vmatrix}2 & a & -1 \\ a-5 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 2\end{vmatrix}$
En développant suivant la première colonne, il est égal à :
$2(6-21)-(a-5)(2a+3)+1(7a+3)=-30-2a^2-3a+10a+15+7a+3=-2a^2+14a-12=-2(a^2-7a+6)$
Soit $-2(a-1)(a-6)$
Si $a\neq 1$ et $a\neq 6$ le déterminant est non nul et donc le système admet une solution unique et on la calcule comme dans l'exercice précédent.

Voyez si vous pouvez poursuivre.

[Julien_]

Merci,

pourriez vous expliciter l'exo numéro 10 svp pour être bien sûr .

[Job]

Suite de la question 1
Calcul de $x$ : $\begin{vmatrix}5 & a & -1 \\ 7 & 3 & 7 \\ 4 & 3 & 2\end{vmatrix} = 5(-15) -7(2a+3)+4(7a+3)=14a-84 = 14(a-6)$
$x=\frac{14(a-6)}{-2(a-1)(a-6)}=\frac{-7}{a-1}$

Calcul de $y$ : $\begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\ a-5 & 7 & 7 \\ 1 & 4 & 2\end{vmatrix} = 2(-14)-(a-5)(14)+42=-14a+84=-14(a-6)$
$y=\frac{-14(a-6)}{-2(a-1)(a-6)}=\frac{7}{a-1}$

Calcul de $z$ : $\begin{vmatrix}2 & a & 5 \\ a-5 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 4\end{vmatrix} =2(-9)-(a-5)(4a-15)+1(7a-15)=-4a^2+42a-108 =-2(2a^2-21a+54)$
$z=\frac{2a^2-21a+54}{(a-1)(a-6)}$

2) Pour $a=1$, on a le système : $\left\{\begin{array}{rcl}2x&+&y&-&z&=&5\\ -4x&+&3y&+&7z&=&7\\ x&+&3y&+&2z&=&4\end{array}\right.$
Ce qui équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl}2x+y-5&=&z \\ 10x+10y&=&42 \\ 5x+5y&=&14\end{array}\right.$
Les 2 dernières équations du nouveau système sont incompatibles.
Le système n'a pas de solution.

Pour $a=6$, on a le système : $\left\{\begin{array}{rcl}2x&+&6y&-&z&=&5\\ x&+&3y&+&7z&=&7\\ x&+&3y&+&2z&=&4\end{array}\right.$
Ce qui équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl}2x+6y-5&=&z\\ 15x+45y&=&42 \\ 5x+15y&=&14\end{array}\right.$
Les équations 2 et 3 sont les mêmes à un coefficient multiplicatif près. Le système est de rang 2?
En posant $x=t$, on obtient $y=\frac{14}{15}-\frac{1}{3} t$ ; $z=2t+\frac{28}{5}-2t-5=\frac{3}{5}$
$S=\{(t,\frac{14}{15}-\frac{1}{3} t , \frac{3}{5})\ /\ (t\in {\mathbb R})\}$

(Calculs à vérifier)