Bonjour,
J’ai besoin de votre aide pour cet exercice s’il vous plaît.
Merci d’avance
Exercice (Nombres de Fermat).
1. Soit m ≥ 1 un entier naturel. Montrer que si 2^(m) + 1 est premier, alors m est une puissance de 2. Pour tout entier n ≥ 0, on pose Fn = 2^(2n) + 1.
2. Vérifier que Fo, F1, F2, F3 sont premiers.
3. Soit n un entier ≥ O et soit p un diviseur premier (impair) de Fn.
(a) Déterminer l'ordre de 2 dans le groupe (Z/pZ)^x
(b) En déduire qu'il existe un entier k ≥ 1 tel que p = 2^(n+1) k + 1.
4. Justifier que s'il n'est pas premier, alors F4 = 65537 est divisible par p € {97, 193}. En déduire que Fs est premier.
5. L'entier F5 = 4294967297 = 641 x 6700417 n'est pas premier. Expliquer comment Euler a
pu trouver le facteur 641.