Bonsoir ,
qui peut me dire c'est quoi les methodes suivies :
- montrer que machin est une base .
- montrer que des suites sont libre ou liées.
- montrer qu'une famille est generatrice.
- determiner la dimension de E.
methodes
Re: methodes
BonjourDONHAMZA a écrit :Bonsoir ,
qui peut me dire c'est quoi les methodes suivies :
- montrer que machin est une base .
- montrer que des suites sont libre ou liées.
- montrer qu'une famille est generatrice.
- determiner la dimension de E.
1) Pour étudier si une suite $(f_1,f_2,\cdots , f_n)$ est libre ou liée, on considère une combinaison linéaire nulle : $\alpha_1 f_1+\alpha_2f_2+\cdots \alpha_nf_n=0$. Si cela implique $\alpha_1=\alpha_2=\cdots =\alpha_n=0$ alors la suite est libre, sinon elle est liée.
2) Pour montrer qu'une famille $(f_1,f_2,\cdots , f_n)$ est génératrice, il faut montrer que tout vecteur de l'espace vectoriel est combinaison linéaire des éléments de la famille c'est-à-dire que tout vecteur $x$ peut s'écrire sous la forme $x=\alpha_1 f_1+\alpha_2f_2+\cdots \alpha_nf_n$
3) Une famille est une base si elle est à la fois libre et génératrice donc voir les points 1 et 2.
4) Toutes les bases ont le même nombre d'éléments (fini ou infini). Ce nombre est la dimension de $E$.
Remarque importante
Dans beaucoup d'exercices on est dans un espace vectoriel de dimension connue. Par exemple ${\mathbb R}^3$ de dimension 3 ou espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ de dimension $n+1$.
Dans le cas où on sait que l'espace vectoriel est de dimension $n$, toute famille libre de $n$ éléments est nécessairement une base donc aussi une famille génératrice donc on n'a pas à montrer le point 2.
Re: methodes
ET SI ON NOUS DEMANDE DE DETERMINER D'un espace vectorielle on fait comment ?
Re: methodes
la base d'un espace ou un sous espace
Re: methodes
La question n'est pas très claire.
Si il n'y a aucune indication pour trouver une base (il n'y a pas unicité de la base), c'est qu'il y a une partie génératrice libre à peu près évidente.
Par exemple dans ${\mathbb R}^3$, si on a un sous-espace vectoriel $F$ tel que $z=x-y$
$(x,y,z)\in F$ est tel que $(x,y,z)=(x,y,x-y)=x(1,0,1)+y(0,1,-1)$
La suite ((1,0,1) , (0,1,-1)) est donc une famille génératrice et comme les 2 vecteurs sont linéairement indépendants, il s'agit d'une base.
Si il n'y a aucune indication pour trouver une base (il n'y a pas unicité de la base), c'est qu'il y a une partie génératrice libre à peu près évidente.
Par exemple dans ${\mathbb R}^3$, si on a un sous-espace vectoriel $F$ tel que $z=x-y$
$(x,y,z)\in F$ est tel que $(x,y,z)=(x,y,x-y)=x(1,0,1)+y(0,1,-1)$
La suite ((1,0,1) , (0,1,-1)) est donc une famille génératrice et comme les 2 vecteurs sont linéairement indépendants, il s'agit d'une base.