Bonjour, Qui peut me faire les exercices 3.12, 3.13, 3.14, 3.15 de cette feuille d'exercices .
http://formation.u-psud.fr/courses/L1MP ... PI20092010
EXERCICES D'entrainement.
Re: EXERCICES D'entrainement.
Bonjour
Exercice 3.12
1. Puisqu'on est en dimension finie, il suffit de vérifier que $(v,w)$ est une suite libre donc que :
$av+bw=(a+b,2a-b,-3a+b,a-3b)=(0,0,0,0)\Longrightarrow a=b=0$ ce qui se fait, sans difficulté, en considérant, par exemple, les 2 premières équations.
2. $u=(x,y,z,t)\in E$ si et seulement si il existe un couple de réels $(a,b)$ vérifiant le système : $\left\{\begin{array}{rcl}a&+&b&=&x\\2a&-&b&=&y\\-3a&+&b&=&z\\a&-&3b&=&t\end{array}\right.$
3. $(S)\ :\ \left\{\begin{array}{rcl}x&-&a&-&b&=&0\\ y&-&2a&+&b&=&0\\z&+&3a&-&b&=&0\\ t&-&a&+&3b&=&0\end{array}\right.$0
4. On détermine, par exemple, $a$ et $ab$ en fonction de $x$ et $y$ à l'aide des 2 premières équations.
$\left\{\begin{array}{rcl}b=x-a\\ y+x-3a=0\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}a=\frac{1}{3}x +\frac{1}{3} y \\ b=\frac{2}{3}x -\frac{1}{3} y\end{array}\right.$
Il suffit alors de remplacer dans les équations 3 et 4 : $\left\{\begin{array}{rcl}\frac{1}{3}x +\frac{4}{3}y +z&=&0\\ \frac{5}{3} x -\frac{4}{3}y +t&=&0\end{array}\right.$
(Il y a beaucoup d'autres possibilités)
Exercice 3.12
1. Puisqu'on est en dimension finie, il suffit de vérifier que $(v,w)$ est une suite libre donc que :
$av+bw=(a+b,2a-b,-3a+b,a-3b)=(0,0,0,0)\Longrightarrow a=b=0$ ce qui se fait, sans difficulté, en considérant, par exemple, les 2 premières équations.
2. $u=(x,y,z,t)\in E$ si et seulement si il existe un couple de réels $(a,b)$ vérifiant le système : $\left\{\begin{array}{rcl}a&+&b&=&x\\2a&-&b&=&y\\-3a&+&b&=&z\\a&-&3b&=&t\end{array}\right.$
3. $(S)\ :\ \left\{\begin{array}{rcl}x&-&a&-&b&=&0\\ y&-&2a&+&b&=&0\\z&+&3a&-&b&=&0\\ t&-&a&+&3b&=&0\end{array}\right.$0
4. On détermine, par exemple, $a$ et $ab$ en fonction de $x$ et $y$ à l'aide des 2 premières équations.
$\left\{\begin{array}{rcl}b=x-a\\ y+x-3a=0\end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{rcl}a=\frac{1}{3}x +\frac{1}{3} y \\ b=\frac{2}{3}x -\frac{1}{3} y\end{array}\right.$
Il suffit alors de remplacer dans les équations 3 et 4 : $\left\{\begin{array}{rcl}\frac{1}{3}x +\frac{4}{3}y +z&=&0\\ \frac{5}{3} x -\frac{4}{3}y +t&=&0\end{array}\right.$
(Il y a beaucoup d'autres possibilités)
Re: EXERCICES D'entrainement.
Exercice 3.13
1. On peut remarquer que $u_3$ et $u_4$ sont des combinaisons linéaires de $u_1$ et $u_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}u_3=u_1+u_2\\ u_4=u_2-u_1\end{array}\right.$
Il suffit donc de montrer que $(u_1,u_2)$ est une suite libre pour en conclure que c'est une base de $E$.
$v=(x,y,z,t)\in E$ si et seulement si il existe un couple de réels $(a,b)$ tel que $xv=au_1+bu_2$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&a+b\\ y&=-&2a+b \\ z&=&a+2b \\ t&=&-2a+2b\end{array}\right.$
On procède alors comme dans l'exercice précédent.
2.
(0,0,0,0) vérifie les 2 équations cartésiennes donc appartient à $F$.
Soit $u=(x,y,z,t)$ et $v=(x',y',z',t')$ 2 vecteurs de $F$. Il faut montrer que toute combinaison linéaire de $u$ et $v$ appartient à $F$.
$au+bv=(ax+bx',ay+by',az+bz',at+bt')$
On vérifie que $(ax+bx')+2(ay+by')-(az+bz')-(at+bt')=0$
En effet $ (ax+bx')+2(ay+by')-(az+bz')-(at+bt')=a(x+2y-z-t)+b(x'+2y'-z'-t')=a\times 0 +b\times 0 =0$ car $u$ et $v$ appartiennent à $F$.
Même travail avec la seconde équation.
Pour avoir d'autres équations linéaires, on prend des combinaisons linéaires des 2 équations donc du type $\alpha (x+2y-z-t)+\beta(x-y-z+t)=0$
Par exemple avec $\alpha =\beta =1$, on obtient $2x+y-2z=0$
Avec $\alpha =1$ et $\beta=-1$ : $3y-2t=0$
1. On peut remarquer que $u_3$ et $u_4$ sont des combinaisons linéaires de $u_1$ et $u_2$ : $\left\{\begin{array}{rcl}u_3=u_1+u_2\\ u_4=u_2-u_1\end{array}\right.$
Il suffit donc de montrer que $(u_1,u_2)$ est une suite libre pour en conclure que c'est une base de $E$.
$v=(x,y,z,t)\in E$ si et seulement si il existe un couple de réels $(a,b)$ tel que $xv=au_1+bu_2$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&a+b\\ y&=-&2a+b \\ z&=&a+2b \\ t&=&-2a+2b\end{array}\right.$
On procède alors comme dans l'exercice précédent.
2.
(0,0,0,0) vérifie les 2 équations cartésiennes donc appartient à $F$.
Soit $u=(x,y,z,t)$ et $v=(x',y',z',t')$ 2 vecteurs de $F$. Il faut montrer que toute combinaison linéaire de $u$ et $v$ appartient à $F$.
$au+bv=(ax+bx',ay+by',az+bz',at+bt')$
On vérifie que $(ax+bx')+2(ay+by')-(az+bz')-(at+bt')=0$
En effet $ (ax+bx')+2(ay+by')-(az+bz')-(at+bt')=a(x+2y-z-t)+b(x'+2y'-z'-t')=a\times 0 +b\times 0 =0$ car $u$ et $v$ appartiennent à $F$.
Même travail avec la seconde équation.
Pour avoir d'autres équations linéaires, on prend des combinaisons linéaires des 2 équations donc du type $\alpha (x+2y-z-t)+\beta(x-y-z+t)=0$
Par exemple avec $\alpha =\beta =1$, on obtient $2x+y-2z=0$
Avec $\alpha =1$ et $\beta=-1$ : $3y-2t=0$
Re: EXERCICES D'entrainement.
Exercice 3.14
1. Il suffit de remplacer $(x,y,z,t)$ par les composantes de $u_1$ et $u_2$ qui ne sont pas colinéaires ce qui donne donc un système homogène à 2 équations : $\left\{\begin{array}{rcl}a+2b-c+3d&=&0 \\ a+b+c-2d&=&0\end{array}\right.$
2. $F$ a une base formé de 2 vecteurs donc c'est un plan.
Dans le système, on détermine $c$ et $d$ en fonction de $a$ et $b$ : $\left\{\begin{array}{rcl}c=-5a-7d \\ d=-2a-3b\end{array}\right.$
Il suffit alors de choisir 2 couples $(a,b)$ non colinéaires pour obtenir 2 vecteurs de ${\mathbb R}^4$ formant une base.
$f_1=(0,1,-7,-3)$ et $f_2=(1,1,-12,-5)$
3. Avec les vecteurs trouvés, on obtient le système $\left\{\begin{array}{rcl}y-7z-3t=0\\x+y-12z-5t=0\end{array}\right.$
On vérifie alors que les composantes de $u_1$ et $u_2$ vérifient le système et puisque $(u_1,u_2)$ est une base de $E$, $(S)$ est un système d'équations cartésiennes de $E$.
4. Avec $u_3$ on a une troisième équation pour $F'$ : $\left\{\begin{array}{rcl}a+2b-c+3d&=&0 \\ a+b+c-2d&=&0\\ 2a-b+d&=&0\end{array}\right.$
En reprenant $\left\{\begin{array}{rcl}c=-5a-7d \\ d=-2a-3b\end{array}\right.$ obtenu avec les 2 premières équations et en remplaçant dans la dernière, on a $2a-b+(-2a-3b)=0$ donc $b=0$
En choisissant $a=1$, $f_3=(1,0,-5,-2)$. vérifie alors les 3 équations de $F'$ donc on a pour équation cartésienne de $E'$ : $x-5z-2t=0$
1. Il suffit de remplacer $(x,y,z,t)$ par les composantes de $u_1$ et $u_2$ qui ne sont pas colinéaires ce qui donne donc un système homogène à 2 équations : $\left\{\begin{array}{rcl}a+2b-c+3d&=&0 \\ a+b+c-2d&=&0\end{array}\right.$
2. $F$ a une base formé de 2 vecteurs donc c'est un plan.
Dans le système, on détermine $c$ et $d$ en fonction de $a$ et $b$ : $\left\{\begin{array}{rcl}c=-5a-7d \\ d=-2a-3b\end{array}\right.$
Il suffit alors de choisir 2 couples $(a,b)$ non colinéaires pour obtenir 2 vecteurs de ${\mathbb R}^4$ formant une base.
$f_1=(0,1,-7,-3)$ et $f_2=(1,1,-12,-5)$
3. Avec les vecteurs trouvés, on obtient le système $\left\{\begin{array}{rcl}y-7z-3t=0\\x+y-12z-5t=0\end{array}\right.$
On vérifie alors que les composantes de $u_1$ et $u_2$ vérifient le système et puisque $(u_1,u_2)$ est une base de $E$, $(S)$ est un système d'équations cartésiennes de $E$.
4. Avec $u_3$ on a une troisième équation pour $F'$ : $\left\{\begin{array}{rcl}a+2b-c+3d&=&0 \\ a+b+c-2d&=&0\\ 2a-b+d&=&0\end{array}\right.$
En reprenant $\left\{\begin{array}{rcl}c=-5a-7d \\ d=-2a-3b\end{array}\right.$ obtenu avec les 2 premières équations et en remplaçant dans la dernière, on a $2a-b+(-2a-3b)=0$ donc $b=0$
En choisissant $a=1$, $f_3=(1,0,-5,-2)$. vérifie alors les 3 équations de $F'$ donc on a pour équation cartésienne de $E'$ : $x-5z-2t=0$
Re: EXERCICES D'entrainement.
Exercice 3.15
1. $v_2=v_3-v_1$ et $v_4=v_1+v_3$ donc la suite $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ n'est pas libre.
2. Les vecteurs $v_1$ et $v_3$ ne sont pas colinéaires donc $F$ est de dimension 2 et a pour base $(v_1,v_3)$
La suite $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ est donc de rang 2.
3. $v=(x,y,z,t)\in F$ si et seulement si il existe 2 réels $a$ et $b$ tels que $v=av_1+bv_3=a(1,-1,2,0)+b(1,1,3,1)$ soit
$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&a+b\\ y&=&-a+b \\ z&=&2a+3b \\ t&=&b\end{array}\right.$
4. Il suffit de déterminer 2 vecteurs non colinéaires n'appartenant pas à $F$ donc dont les composantes rendent le système précédent incompatible.
Les vecteurs $e_1=(1,0,0,0)$ et $e_2=(0,1,0,0)$ répondent à ce critère. $(e_1,e_2)$ engendre un supplémentaire de $F$.
1. $v_2=v_3-v_1$ et $v_4=v_1+v_3$ donc la suite $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ n'est pas libre.
2. Les vecteurs $v_1$ et $v_3$ ne sont pas colinéaires donc $F$ est de dimension 2 et a pour base $(v_1,v_3)$
La suite $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ est donc de rang 2.
3. $v=(x,y,z,t)\in F$ si et seulement si il existe 2 réels $a$ et $b$ tels que $v=av_1+bv_3=a(1,-1,2,0)+b(1,1,3,1)$ soit
$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&a+b\\ y&=&-a+b \\ z&=&2a+3b \\ t&=&b\end{array}\right.$
4. Il suffit de déterminer 2 vecteurs non colinéaires n'appartenant pas à $F$ donc dont les composantes rendent le système précédent incompatible.
Les vecteurs $e_1=(1,0,0,0)$ et $e_2=(0,1,0,0)$ répondent à ce critère. $(e_1,e_2)$ engendre un supplémentaire de $F$.