Bonjour Job,
je voulais savoir si tu pouvais corrigé les questions 1 et 2 de cet exercice stp?
si c'est pas trop long (il y a 1a), b, 2a), b))
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/19/k5b1.png
Complexe , cosinus exponentielle
Re: Complexe , cosinus exponentielle
Bonjour Marc
1. a. $Z$ est la somme de $n$ termes consécutifs d'une suie géométrique de raison $z$ donc
$\displaystyle Z=\frac{z^n-1}{z-1}$
Avec $z=e^{\frac{2i\pi}{n}}$ on a $z^n=(e^{\frac{2i\pi}{n}})^n=e^{2i\pi}=1$
Par conséquent $Z=0$
b. $S_n$ est la partie réelle de $Z$ donc $S_n=0$
2. a. $S_5=1+\cos (\frac{2\pi}{5})+ \cos (\frac{4\pi}{5})+ \cos (\frac{6\pi}{5})+ \cos (\frac{8\pi}{5})$
$\cos (\frac{6\pi}{5})=-\cos (\frac{\pi}{5})=-[-\cos (\frac{4\pi}{5})]= \cos (\frac{4\pi}{5})$
$\cos (\frac{8\pi}{5})=-\cos (\frac{3\pi}{5})=-[-\cos (\frac{2\pi}{5})]= \cos (\frac{2\pi}{5})$
$S_5=1+2 \cos (\frac{2\pi}{5})+ 2\cos (\frac{3\pi}{5})=0$ (E)
$\cos (\frac{4\pi}{5})=2\cos^2(\frac{2\pi}{5})-1$
Donc l'égalité (E) donne : $1+2 \cos (\frac{2\pi}{5})+4\cos^2(\frac{2\pi}{5})-2=0$
$\cos (\frac{2\pi}{5})=2\cos^2(\frac{\pi}{5})-1= 2\cos^2(\frac{4\pi}{5})-1$ et on utilise l'égalité (E).
b. Il suffit de résoudre l'équation du second degré : $4X^2+2X-1=0$
1. a. $Z$ est la somme de $n$ termes consécutifs d'une suie géométrique de raison $z$ donc
$\displaystyle Z=\frac{z^n-1}{z-1}$
Avec $z=e^{\frac{2i\pi}{n}}$ on a $z^n=(e^{\frac{2i\pi}{n}})^n=e^{2i\pi}=1$
Par conséquent $Z=0$
b. $S_n$ est la partie réelle de $Z$ donc $S_n=0$
2. a. $S_5=1+\cos (\frac{2\pi}{5})+ \cos (\frac{4\pi}{5})+ \cos (\frac{6\pi}{5})+ \cos (\frac{8\pi}{5})$
$\cos (\frac{6\pi}{5})=-\cos (\frac{\pi}{5})=-[-\cos (\frac{4\pi}{5})]= \cos (\frac{4\pi}{5})$
$\cos (\frac{8\pi}{5})=-\cos (\frac{3\pi}{5})=-[-\cos (\frac{2\pi}{5})]= \cos (\frac{2\pi}{5})$
$S_5=1+2 \cos (\frac{2\pi}{5})+ 2\cos (\frac{3\pi}{5})=0$ (E)
$\cos (\frac{4\pi}{5})=2\cos^2(\frac{2\pi}{5})-1$
Donc l'égalité (E) donne : $1+2 \cos (\frac{2\pi}{5})+4\cos^2(\frac{2\pi}{5})-2=0$
$\cos (\frac{2\pi}{5})=2\cos^2(\frac{\pi}{5})-1= 2\cos^2(\frac{4\pi}{5})-1$ et on utilise l'égalité (E).
b. Il suffit de résoudre l'équation du second degré : $4X^2+2X-1=0$
Re: Complexe , cosinus exponentielle
Bonjour,
Les équations que tu as présentées sont vraiment intéressantes et bien expliquées. C'est un plaisir de voir comment les concepts mathématiques s'entrelacent si harmonieusement. Par ailleurs, je suis curieux, as-tu déjà exploré des problèmes mathématiques qui utilisent des approches similaires à celles des algorithmes de Betclic ici dans le domaine de la probabilité et de la théorie des jeux ?
Les équations que tu as présentées sont vraiment intéressantes et bien expliquées. C'est un plaisir de voir comment les concepts mathématiques s'entrelacent si harmonieusement. Par ailleurs, je suis curieux, as-tu déjà exploré des problèmes mathématiques qui utilisent des approches similaires à celles des algorithmes de Betclic ici dans le domaine de la probabilité et de la théorie des jeux ?