Exercice 10 Points alignés plan complexe
Exercice 10 Points alignés plan complexe
Bonjour Job, j'essai de faire les exos de cette page(au total mon prof nous donner un TD de 25 exos) pour préparer un devoir.
Est-ce que tu pourrai corrigé le numéro 10 stp?
Voici la page d'exercice : https://ibb.co/1TWY4Cv
Est-ce que tu pourrai corrigé le numéro 10 stp?
Voici la page d'exercice : https://ibb.co/1TWY4Cv
Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe
Bonjour Marc
Les points sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ d'affixe $z-1$ et $\overrightarrow {AC}$ d'affixe $z^2$ sont colinéaires.
Si $z=0$, A et C sont confondus zt si $z=1$, A et B sont confondus. Dans ces 2 cas, les 3 points sont alignés.
Désormais on prend $z\neq 0$ et $z\neq 1$
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires si et seulement si $\frac{z^2}{z-1}$ est réel.
Un complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué soit
$\frac{z^2}{z-1}=\frac{\bar z^2}{\bar z -1}$
$z^2(\bar z -1)=\bar z^2(z-1)$
$z^2\bar z -z^2=\bar z^2 z -\bar z^2$
$z\bar z (z-\bar z)=(z-\bar z)(z+\bar z)$
$(z-\bar z)(z\bar z -z-\bar z)=0$
a) $z-\bar z =0$ équivaut à $z=\bar z$ donc $z$ réel.
b) $z\bar z -z-\bar z=0$ soit $|z|^2- 2Re(z)=0$
En passant à la forme algébrique $z=x+iy$ on obtient :
$x^2+y^2-2x=0$
$(x-1)^2+y^2=1$
C''est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées (1,0) (donc d'affixe 1) et de rayon 1
Conclusion :
Les points $B$ qui répondent à la question sont les points de l'axe des abscisses et ceux du cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1.
Les points sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ d'affixe $z-1$ et $\overrightarrow {AC}$ d'affixe $z^2$ sont colinéaires.
Si $z=0$, A et C sont confondus zt si $z=1$, A et B sont confondus. Dans ces 2 cas, les 3 points sont alignés.
Désormais on prend $z\neq 0$ et $z\neq 1$
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires si et seulement si $\frac{z^2}{z-1}$ est réel.
Un complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué soit
$\frac{z^2}{z-1}=\frac{\bar z^2}{\bar z -1}$
$z^2(\bar z -1)=\bar z^2(z-1)$
$z^2\bar z -z^2=\bar z^2 z -\bar z^2$
$z\bar z (z-\bar z)=(z-\bar z)(z+\bar z)$
$(z-\bar z)(z\bar z -z-\bar z)=0$
a) $z-\bar z =0$ équivaut à $z=\bar z$ donc $z$ réel.
b) $z\bar z -z-\bar z=0$ soit $|z|^2- 2Re(z)=0$
En passant à la forme algébrique $z=x+iy$ on obtient :
$x^2+y^2-2x=0$
$(x-1)^2+y^2=1$
C''est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées (1,0) (donc d'affixe 1) et de rayon 1
Conclusion :
Les points $B$ qui répondent à la question sont les points de l'axe des abscisses et ceux du cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1.
Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe
Je regarderai demain les 2 autres cas
Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe
Alignement pour z, $z^2$, $z^4$
Si $z=0$ ou $z=1$ les 3 points sont confondus.
Avec $z\neq 0$, $z\neq 1$ les 3 points sont alignés si $\frac{z^4-z}{z^2-z}$ est réel.
$\frac{z^4-z}{z^2-z}=\frac{z^3-1}{z-1}= z^2+z+1$
Ce nombre est réel si il est égal à son conjugué soit :
$z^2+z+1=\bar z^2+\bar z+1$
$z^2-\bar z^2+z-\bar z=0$
$(z-\bar z)(z+\bar z )+z-\bar z =0$
$(z-\bar z)(z+\bar z +1)=0$
a) $z-\bar z=0$ si et seulement si $z=\bar z$ soit $z$ réel.
b) $z+\bar z +1=0$ équivaut à $2Re(z)=-1$ soit $Re(z)=-\frac{1}{2}$
Les points d'affixe $z$ qui répondent à la question sont les points de l'axe des abscisses et ceux de la droite d'équation $x=-\frac{1}{2}$
Si $z=0$ ou $z=1$ les 3 points sont confondus.
Avec $z\neq 0$, $z\neq 1$ les 3 points sont alignés si $\frac{z^4-z}{z^2-z}$ est réel.
$\frac{z^4-z}{z^2-z}=\frac{z^3-1}{z-1}= z^2+z+1$
Ce nombre est réel si il est égal à son conjugué soit :
$z^2+z+1=\bar z^2+\bar z+1$
$z^2-\bar z^2+z-\bar z=0$
$(z-\bar z)(z+\bar z )+z-\bar z =0$
$(z-\bar z)(z+\bar z +1)=0$
a) $z-\bar z=0$ si et seulement si $z=\bar z$ soit $z$ réel.
b) $z+\bar z +1=0$ équivaut à $2Re(z)=-1$ soit $Re(z)=-\frac{1}{2}$
Les points d'affixe $z$ qui répondent à la question sont les points de l'axe des abscisses et ceux de la droite d'équation $x=-\frac{1}{2}$
Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe
Alignement pour 1, $z$, $iz$
On doit avoir $\frac{iz-1}{z-1}$ réel donc égal à son conjugué
$\frac{iz-1}{z-1}=\frac{-i\bar z-1}{\bar z -1}$
$(iz-1)(\bar z -1)=(-i\bar z -1)(z-1)$
$iz\bar z-iz-\bar z +1=-iz\bar z+i\bar z-z+1$
$2iz\bar z-i(z+\bar z)+z-\bar z =0$
Avec $z=x+iy$ on obtient :
$2i(x^2+y^2)-2ix+2iy=0$
$x^2+y^2-x+y=0$
$(x-\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2}^2=\frac{1}{2}$
C'est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées $(\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) $ et de rayon $\sqrt {\frac{1}{2}}$
On doit avoir $\frac{iz-1}{z-1}$ réel donc égal à son conjugué
$\frac{iz-1}{z-1}=\frac{-i\bar z-1}{\bar z -1}$
$(iz-1)(\bar z -1)=(-i\bar z -1)(z-1)$
$iz\bar z-iz-\bar z +1=-iz\bar z+i\bar z-z+1$
$2iz\bar z-i(z+\bar z)+z-\bar z =0$
Avec $z=x+iy$ on obtient :
$2i(x^2+y^2)-2ix+2iy=0$
$x^2+y^2-x+y=0$
$(x-\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2}^2=\frac{1}{2}$
C'est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées $(\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) $ et de rayon $\sqrt {\frac{1}{2}}$
Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe
Merci infiniment job, cet exo était hyper long c'est fou!