Exercice 10 Points alignés plan complexe

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
Marc32
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Exercice 10 Points alignés plan complexe

Message par Marc32 » 29 mars 2023, 14:44

Bonjour Job, j'essai de faire les exos de cette page(au total mon prof nous donner un TD de 25 exos) pour préparer un devoir.

Est-ce que tu pourrai corrigé le numéro 10 stp?

Voici la page d'exercice : https://ibb.co/1TWY4Cv

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Job
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Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe

Message par Job » 29 mars 2023, 16:16

Bonjour Marc

Les points sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ d'affixe $z-1$ et $\overrightarrow {AC}$ d'affixe $z^2$ sont colinéaires.

Si $z=0$, A et C sont confondus zt si $z=1$, A et B sont confondus. Dans ces 2 cas, les 3 points sont alignés.
Désormais on prend $z\neq 0$ et $z\neq 1$

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires si et seulement si $\frac{z^2}{z-1}$ est réel.
Un complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué soit
$\frac{z^2}{z-1}=\frac{\bar z^2}{\bar z -1}$
$z^2(\bar z -1)=\bar z^2(z-1)$
$z^2\bar z -z^2=\bar z^2 z -\bar z^2$
$z\bar z (z-\bar z)=(z-\bar z)(z+\bar z)$
$(z-\bar z)(z\bar z -z-\bar z)=0$

a) $z-\bar z =0$ équivaut à $z=\bar z$ donc $z$ réel.

b) $z\bar z -z-\bar z=0$ soit $|z|^2- 2Re(z)=0$
En passant à la forme algébrique $z=x+iy$ on obtient :
$x^2+y^2-2x=0$
$(x-1)^2+y^2=1$
C''est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées (1,0) (donc d'affixe 1) et de rayon 1

Conclusion :
Les points $B$ qui répondent à la question sont les points de l'axe des abscisses et ceux du cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1.

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Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe

Message par Job » 29 mars 2023, 16:18

Je regarderai demain les 2 autres cas

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Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe

Message par Job » 30 mars 2023, 14:12

Alignement pour z, $z^2$, $z^4$

Si $z=0$ ou $z=1$ les 3 points sont confondus.

Avec $z\neq 0$, $z\neq 1$ les 3 points sont alignés si $\frac{z^4-z}{z^2-z}$ est réel.

$\frac{z^4-z}{z^2-z}=\frac{z^3-1}{z-1}= z^2+z+1$
Ce nombre est réel si il est égal à son conjugué soit :
$z^2+z+1=\bar z^2+\bar z+1$
$z^2-\bar z^2+z-\bar z=0$
$(z-\bar z)(z+\bar z )+z-\bar z =0$
$(z-\bar z)(z+\bar z +1)=0$

a) $z-\bar z=0$ si et seulement si $z=\bar z$ soit $z$ réel.

b) $z+\bar z +1=0$ équivaut à $2Re(z)=-1$ soit $Re(z)=-\frac{1}{2}$

Les points d'affixe $z$ qui répondent à la question sont les points de l'axe des abscisses et ceux de la droite d'équation $x=-\frac{1}{2}$

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Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe

Message par Job » 30 mars 2023, 14:37

Alignement pour 1, $z$, $iz$

On doit avoir $\frac{iz-1}{z-1}$ réel donc égal à son conjugué

$\frac{iz-1}{z-1}=\frac{-i\bar z-1}{\bar z -1}$
$(iz-1)(\bar z -1)=(-i\bar z -1)(z-1)$
$iz\bar z-iz-\bar z +1=-iz\bar z+i\bar z-z+1$
$2iz\bar z-i(z+\bar z)+z-\bar z =0$

Avec $z=x+iy$ on obtient :
$2i(x^2+y^2)-2ix+2iy=0$
$x^2+y^2-x+y=0$
$(x-\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2}^2=\frac{1}{2}$

C'est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées $(\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) $ et de rayon $\sqrt {\frac{1}{2}}$

Marc32
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Re: Exercice 10 Points alignés plan complexe

Message par Marc32 » 30 mars 2023, 19:34

Merci infiniment job, cet exo était hyper long c'est fou!

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