Salut Job, je voulais savoir si tu pourrai corrigé les questions 1 et 2 de l'exo 2 stp?
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/11/5c3p.jpeg
j'avais presque réussi en devoir mais c'est rigoureux
Algèbre linéaire exo non prioritaire
Re: Algèbre linéaire exo non prioritaire
Salut marc
1.
$e^{-a_nx} g(x)=\lambda_1 e^{(a_1-a_n)x}+\cdots + \lambda_k e^{(a_k-a_n)x}+\cdots + \lambda_n$
Puisque $a_1<\cdots <a_n$, nous les $a_k-a_n$ sont négatifs et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{(a_k-a_n)x}=0$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-a_n} g(x)=\lambda_n$
2) Amorce : $\lambda f_1(x)=0 \Rightarrow \lambda_1=0$
Hérédité ; On suppose la famille $(f_1,\cdots , f_{n-1})$ famille libre. (hypothèse de récurrence)
On suppose $\lambda_1 f_1+\cdots +\lambda_nf_n=0$ soit
$\displaystyle \lambda_1 e^{a_1x}+\cdots + \lambda_{n-1}e^{a_{n-1}x}+\lambda_n e^{a_n x}=0$
On multiplie par $e^{-a_nx}$ :
$\displaystyle \lambda_1 e^{(a_1-a_n)x}+\cdots + \lambda_{n-1}e^{(a_{n-1}-a_n)x}+\lambda_n =0$
En passant à la limite en +l'infini (comme dans la question 1) on en déduit que $\lambda_n=0$
On a donc $\lambda_1f_1 +\cdots \lambda_{n-1} f_{n-1}=0$
L'hypothèse de récurrence implique que $\lambda_1 =\cdots = \lambda_{n-1} =0$
Tous les coefficients de $\lambda_1 f_1+\cdots +\lambda_nf_n=0$ sont donc nuls ce qui prouve que la famille $(f_1,\cdots , f_n)$ est une famille libre.
1.
$e^{-a_nx} g(x)=\lambda_1 e^{(a_1-a_n)x}+\cdots + \lambda_k e^{(a_k-a_n)x}+\cdots + \lambda_n$
Puisque $a_1<\cdots <a_n$, nous les $a_k-a_n$ sont négatifs et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{(a_k-a_n)x}=0$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-a_n} g(x)=\lambda_n$
2) Amorce : $\lambda f_1(x)=0 \Rightarrow \lambda_1=0$
Hérédité ; On suppose la famille $(f_1,\cdots , f_{n-1})$ famille libre. (hypothèse de récurrence)
On suppose $\lambda_1 f_1+\cdots +\lambda_nf_n=0$ soit
$\displaystyle \lambda_1 e^{a_1x}+\cdots + \lambda_{n-1}e^{a_{n-1}x}+\lambda_n e^{a_n x}=0$
On multiplie par $e^{-a_nx}$ :
$\displaystyle \lambda_1 e^{(a_1-a_n)x}+\cdots + \lambda_{n-1}e^{(a_{n-1}-a_n)x}+\lambda_n =0$
En passant à la limite en +l'infini (comme dans la question 1) on en déduit que $\lambda_n=0$
On a donc $\lambda_1f_1 +\cdots \lambda_{n-1} f_{n-1}=0$
L'hypothèse de récurrence implique que $\lambda_1 =\cdots = \lambda_{n-1} =0$
Tous les coefficients de $\lambda_1 f_1+\cdots +\lambda_nf_n=0$ sont donc nuls ce qui prouve que la famille $(f_1,\cdots , f_n)$ est une famille libre.
Re: Algèbre linéaire exo non prioritaire
Salut, merci infiniment Job!
Bon week-end à toi!
Bon week-end à toi!