Bonjour Job, j'espère que tu passe un bon week-end?
Désolé de t'embêter avec cet exercice mais je n'en ai pas trop compris le but, pourrai tu le corrigé stp?
voici l'énoncé et ce que j'ai cherché, preuve de ma bonne foi (sans e je crois).
https://ibb.co/5YzT5Pm
https://ibb.co/sRVzHT9
Montrer qu'une famille est une base
Re: Montrer qu'une famille est une base
Bonjour Marc
Question 1
Il ne faut pas de contenter d'écrire les conditions pour avoir un espace vectoriel, il faut montrer que cela s'applique à l'ensemble $E$. C'est fastidieux à écrire mais pas compliqué.
Pour montrer que la famille est libre, il faut montrer que si la fonction $f(x)=a_0+a_1\cos (x) +a_2\cos^2(x)+a_3\cos^3(x) $ est la fonction nulle alors chacun des coefficients est nul.
Dire que la fonction est nulle cela veut dire qu'elle est nulle pour chaque valeur de $x$.
Le texte suggère 4 valeurs de $x$ à utiliser;
Pour $x=0$ n'obtient : $a_0+a_1+a_2+a_3=0$
Tu as écrit les expressions qu'on obtient avec les valeurs proposées.Pour chacune d'elles il faut écrire "=0"
Il faut alors résoudre le système formé par les 4 équations en $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$
Tu dois obtenir $a_0=a_1=a_2=a_3=0$
Tu as alors démontré que la famille $B$ est libre.
Elle est de dimension 4
Question 2[/b
Je n'ai pas suffisamment de temps aujourd'hui pour la traiter car c'est assez long.
Je la rédigerai demain.
Question 1
Il ne faut pas de contenter d'écrire les conditions pour avoir un espace vectoriel, il faut montrer que cela s'applique à l'ensemble $E$. C'est fastidieux à écrire mais pas compliqué.
Pour montrer que la famille est libre, il faut montrer que si la fonction $f(x)=a_0+a_1\cos (x) +a_2\cos^2(x)+a_3\cos^3(x) $ est la fonction nulle alors chacun des coefficients est nul.
Dire que la fonction est nulle cela veut dire qu'elle est nulle pour chaque valeur de $x$.
Le texte suggère 4 valeurs de $x$ à utiliser;
Pour $x=0$ n'obtient : $a_0+a_1+a_2+a_3=0$
Tu as écrit les expressions qu'on obtient avec les valeurs proposées.Pour chacune d'elles il faut écrire "=0"
Il faut alors résoudre le système formé par les 4 équations en $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$
Tu dois obtenir $a_0=a_1=a_2=a_3=0$
Tu as alors démontré que la famille $B$ est libre.
Elle est de dimension 4
Question 2[/b
Je n'ai pas suffisamment de temps aujourd'hui pour la traiter car c'est assez long.
Je la rédigerai demain.
Re: Montrer qu'une famille est une base
Job a écrit : ↑04 mars 2023, 17:52Bonjour Marc
Question 1
Il ne faut pas de contenter d'écrire les conditions pour avoir un espace vectoriel, il faut montrer que cela s'applique à l'ensemble $E$. C'est fastidieux à écrire mais pas compliqué.
Pour montrer que la famille est libre, il faut montrer que si la fonction $f(x)=a_0+a_1\cos (x) +a_2\cos^2(x)+a_3\cos^3(x) $ est la fonction nulle alors chacun des coefficients est nul.
Dire que la fonction est nulle cela veut dire qu'elle est nulle pour chaque valeur de $x$.
Le texte suggère 4 valeurs de $x$ à utiliser;
Pour $x=0$ n'obtient : $a_0+a_1+a_2+a_3=0$
Tu as écrit les expressions qu'on obtient avec les valeurs proposées.Pour chacune d'elles il faut écrire "=0"
Il faut alors résoudre le système formé par les 4 équations en $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$
Tu dois obtenir $a_0=a_1=a_2=a_3=0$
Tu as alors démontré que la famille $B$ est libre.
Elle est de dimension 4
Question 2[/b
Je n'ai pas suffisamment de temps aujourd'hui pour la traiter car c'est assez long.
Je la rédigerai demain.
Bonjour Job, je te remerci infiniement, , j'ai oublié un peu la méthode pour le 1
Re: Montrer qu'une famille est une base
Question 2
J'appelle $b_1, b_2, b_3,b_4$ les vecteurs de la base $B$ et $f_1, f_2, f_3, f_4$ les vecteurs de la famille $F$
Il faut exprimer les vecteurs de la famille $F$ en fonction des vecteurs de la base $B$.
$f_1=b_1$ ; $f_2=b_2$
$\cos (2x) =2\cos^2(x) -1$ donc $f_3=2b_3-1$
$\\cos (3x) =\cos (2x+x) =\cos (2x) \cos (x) -\sin (2x)\sin (x)$
$=(2\cos ^2(x) -1)(\cos (x) )-2\sin (x) \cos (x)\times \sin (x) $
$=2\cos^3(x)-\cos (x) -2\cos (x)(1-\cos^2 (x))$
$=2\cos^3(x)-\cos (x) -2\cos (x) +2\cos^3(x)$
$=4\cos^3(x)-3\cos (x)$
Donc $f_4=4b_4-3b_2$
Les colonnes de la matrice sont formées par les coordonnées de ces 4 vecteurs dans la base $B$.
$\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&-3\\0&0&2&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$
Le déterminant de la matrice est non nul, par conséquent la famille $F$ est de même dimension que la base $B$ et donc la famille $F$ est une base de $E$
Pour la question 1
On prend une fonction $f$ de la famille, on écrit $kf\ (k\in {\mathbb R}$. Les coefficients sont multipliés par $k$ donc on obtient bien une fonction de $E$
Avec une seconde fonction $g$ avec des coefficients $b_0,\cdots$, on fait la somme $f+g$. On a les coefficients $a_0+b_0 , \cdots$ et c'est bien une fonction de $E$;
J'appelle $b_1, b_2, b_3,b_4$ les vecteurs de la base $B$ et $f_1, f_2, f_3, f_4$ les vecteurs de la famille $F$
Il faut exprimer les vecteurs de la famille $F$ en fonction des vecteurs de la base $B$.
$f_1=b_1$ ; $f_2=b_2$
$\cos (2x) =2\cos^2(x) -1$ donc $f_3=2b_3-1$
$\\cos (3x) =\cos (2x+x) =\cos (2x) \cos (x) -\sin (2x)\sin (x)$
$=(2\cos ^2(x) -1)(\cos (x) )-2\sin (x) \cos (x)\times \sin (x) $
$=2\cos^3(x)-\cos (x) -2\cos (x)(1-\cos^2 (x))$
$=2\cos^3(x)-\cos (x) -2\cos (x) +2\cos^3(x)$
$=4\cos^3(x)-3\cos (x)$
Donc $f_4=4b_4-3b_2$
Les colonnes de la matrice sont formées par les coordonnées de ces 4 vecteurs dans la base $B$.
$\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&-3\\0&0&2&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$
Le déterminant de la matrice est non nul, par conséquent la famille $F$ est de même dimension que la base $B$ et donc la famille $F$ est une base de $E$
Pour la question 1
On prend une fonction $f$ de la famille, on écrit $kf\ (k\in {\mathbb R}$. Les coefficients sont multipliés par $k$ donc on obtient bien une fonction de $E$
Avec une seconde fonction $g$ avec des coefficients $b_0,\cdots$, on fait la somme $f+g$. On a les coefficients $a_0+b_0 , \cdots$ et c'est bien une fonction de $E$;
Re: Montrer qu'une famille est une base
Merci beaucoup Job!