Math-Aide

Bonjour à tous, je vais rentrer en 2ème année de CPGE en PC et je suis bloqué sur 3 questions de mon DM de Math !!
Je vous demande donc de l’aide car je ne m’en sors pas, les 3 question sont :

Soit E,F,G trois 𝕂-espaces vectoriels, 𝑓 ∈ ℒ(E,F) et 𝑔 ∈ ℒ(F,G).
1. Montrer que Ker(𝑔∘𝑓) = Ker(𝑓) ⟺ Ker(𝑔)∩Im(𝑓) = {0F}.
2. Montrer que Im(𝑔∘𝑓) = Im(𝑔) ⟺ Ker(𝑔)+Im(𝑓) = F.

et 3. Calculer le déterminant suivant :
1ère ligne de la matrice : | α ℓ1 ⋯ ⋯ ℓ𝑛 |
2ème ligne de la matrice : | 𝑐1 1 0 ⋯ 0 |
3ème ligne de la matrice : | ⋮ 0 ⋱ ⋱ 0 |
4ème ligne de la matrice : | ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 |
5ème ligne de la matrice : |𝑐𝑛 0 ⋯ 0 1 |

En espérant que vous pourrez m’aider ce serait fort aimable…
Merci d’avance

Bonjour! Je vais essayer de vous aider avec ces trois questions.

Pour la première question, nous allons utiliser la définition de Ker et Im.

Ker(f) est l'ensemble des vecteurs x dans E tels que f(x)=0F, et Im(f) est l'ensemble des vecteurs y dans F tels que y=f(x) pour un certain x dans E.

De même, Ker(g) est l'ensemble des vecteurs y dans F tels que g(y)=0G, et Im(g) est l'ensemble des vecteurs z dans G tels que z=g(y) pour un certain y dans F.

Ker(g∘f) est l'ensemble des vecteurs x dans E tels que (g∘f)(x)=0G. Or, (g∘f)(x)=g(f(x)), donc Ker(g∘f) est l'ensemble des vecteurs x dans E tels que f(x) est dans Ker(g). Autrement dit, Ker(g∘f)=f^(-1)(Ker(g)).

Ainsi, nous avons l'équivalence suivante:
Ker(g∘f) = Ker(f) ⟺ f^(-1)(Ker(g)) = Ker(f) ⟺ Ker(g)∩Im(f) = {0F}.

Pour la deuxième question, nous allons de nouveau utiliser la définition de Ker et Im.

Im(g∘f) est l'ensemble des vecteurs z dans G tels que z=(g∘f)(x) pour un certain x dans E. Or, (g∘f)(x)=g(f(x)), donc Im(g∘f) est l'ensemble des vecteurs g(y) pour un certain y dans Im(f). Autrement dit, Im(g∘f)=g(Im(f)).

Ainsi, nous avons l'équivalence suivante:
Im(g∘f) = Im(g) ⟺ g(Im(f)) = Im(g) ⟺ Ker(g)+Im(f) = F.

Pour la troisième question, nous pouvons utiliser la formule du déterminant d'une matrice carrée. Le déterminant d'une matrice A est égal à:

|A|=Σ(sigma) (-1)^p a1,sigma1 * a2,sigma2 * ... * an,sigman

où sigma est un permutation des entiers 1, 2, ..., n, et p est le nombre d'inversions de sigma.

Dans votre cas, la matrice a 5 lignes et n colonnes. Si n=3, par exemple, le déterminant serait égal à:

|A|=a1,1 * a2,2 * a3,3 + a1,2 * a2