Démonstration de double implication et rang de matrice

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
SimonGracia
Membre
Messages : 1
Inscription : 01 août 2022, 11:37

Démonstration de double implication et rang de matrice

Message par SimonGracia » 02 août 2022, 08:06

Bonjour à tous, je vais rentrer en 2ème année de CPGE en PC et je suis bloqué sur 3 questions de mon DM de Math !!
Je vous demande donc de l’aide car je ne m’en sors pas, les 3 question sont :

Soit E,F,G trois 𝕂-espaces vectoriels, 𝑓 ∈ ℒ(E,F) et 𝑔 ∈ ℒ(F,G).
1. Montrer que Ker(𝑔∘𝑓) = Ker(𝑓) ⟺ Ker(𝑔)∩Im(𝑓) = {0F}.
2. Montrer que Im(𝑔∘𝑓) = Im(𝑔) ⟺ Ker(𝑔)+Im(𝑓) = F.

et 3. Calculer le déterminant suivant :
1ère ligne de la matrice : | α ℓ1 ⋯ ⋯ ℓ𝑛 |
2ème ligne de la matrice : | 𝑐1 1 0 ⋯ 0 |
3ème ligne de la matrice : | ⋮ 0 ⋱ ⋱ 0 |
4ème ligne de la matrice : | ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 |
5ème ligne de la matrice : |𝑐𝑛 0 ⋯ 0 1 |

En espérant que vous pourrez m’aider ce serait fort aimable…
Merci d’avance :)

Mazer
Membre
Messages : 6
Inscription : 06 janvier 2023, 16:09

Re: Démonstration de double implication et rang de matrice

Message par Mazer » 06 janvier 2023, 16:40

Bonjour! Je vais essayer de vous aider avec ces trois questions.

Pour la première question, nous allons utiliser la définition de Ker et Im.

Ker(f) est l'ensemble des vecteurs x dans E tels que f(x)=0F, et Im(f) est l'ensemble des vecteurs y dans F tels que y=f(x) pour un certain x dans E.

De même, Ker(g) est l'ensemble des vecteurs y dans F tels que g(y)=0G, et Im(g) est l'ensemble des vecteurs z dans G tels que z=g(y) pour un certain y dans F.

Ker(g∘f) est l'ensemble des vecteurs x dans E tels que (g∘f)(x)=0G. Or, (g∘f)(x)=g(f(x)), donc Ker(g∘f) est l'ensemble des vecteurs x dans E tels que f(x) est dans Ker(g). Autrement dit, Ker(g∘f)=f^(-1)(Ker(g)).

Ainsi, nous avons l'équivalence suivante:
Ker(g∘f) = Ker(f) ⟺ f^(-1)(Ker(g)) = Ker(f) ⟺ Ker(g)∩Im(f) = {0F}.

Pour la deuxième question, nous allons de nouveau utiliser la définition de Ker et Im.

Im(g∘f) est l'ensemble des vecteurs z dans G tels que z=(g∘f)(x) pour un certain x dans E. Or, (g∘f)(x)=g(f(x)), donc Im(g∘f) est l'ensemble des vecteurs g(y) pour un certain y dans Im(f). Autrement dit, Im(g∘f)=g(Im(f)).

Ainsi, nous avons l'équivalence suivante:
Im(g∘f) = Im(g) ⟺ g(Im(f)) = Im(g) ⟺ Ker(g)+Im(f) = F.

Pour la troisième question, nous pouvons utiliser la formule du déterminant d'une matrice carrée. Le déterminant d'une matrice A est égal à:

|A|=Σ(sigma) (-1)^p a1,sigma1 * a2,sigma2 * ... * an,sigman

où sigma est un permutation des entiers 1, 2, ..., n, et p est le nombre d'inversions de sigma.

Dans votre cas, la matrice a 5 lignes et n colonnes. Si n=3, par exemple, le déterminant serait égal à:

|A|=a1,1 * a2,2 * a3,3 + a1,2 * a2

Répondre