j'ai des difficultés à comprendre la classification des isométries
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isométrie
Re: isométrie
Bonsoir
J'appelle $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. C'est donc une droite perpendiculaire à $D$ dans le plan $P_1$
1) On considère un repère orthonormé direct $(\vec x , \vec v, \vec w)$ avec $\vec x \in \overrightarrow{D}$, $\vec v \in \overrightarrow{\Delta}$, $\vec w \in \overrightarrow{P_2}$
$\overrightarrow{s_2}\circ \overrightarrow{r} (\vec x) =\overrightarrow{s_2} (\vec x)=-\vec x$
$\overrightarrow{s_2}\circ \overrightarrow{r} (\vec v) =\overrightarrow{s_2} (-\vec v)=-\vec v$
$\overrightarrow{s_2}\circ \overrightarrow{r} (\vec w) =\overrightarrow{s_2} (-\vec w)=-\vec w$
Par conséquent $\overrightarrow{f}=-\overrightarrow{Id}$
$O$ point d'intersection de $D$ et $\Delta$ est un point fixe. Par conséquent $f$ est la symétrie centrale de centre $O$.
$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{s_1}\circ \overrightarrow{Id}=\overrightarrow{s_1}$
Si $\vec u \neq \vec 0$, g ne possède pas de point fixe donc g est une réflexion glissée.
2) $r$ est un déplacement et $s_2$ un antidéplacement donc $f$ est un antidéplacement.
$t_{\vec u}$ est un déplacement et $s_1$ un antidéplacement donc $g$ est un antidéplacement.
La composée de 2 antidéplacements est un déplacement donc $f\circ g$ est un déplacement.
3) $\overrightarrow{f\circ g}=-\overrightarrow{Id}\circ \overrightarrow{s_1}$
$\overrightarrow{f\circ g}$ restreinte à $\overrightarrow{P_1}$ est égale à $-\overrightarrow{Id}|_{\overrightarrow{P_1}}$
Soit $\vec e$ appartenant à l'orthogonal de $\overrightarrow{P_1}$
$-\overrightarrow{Id}\circ \overrightarrow{s_1} (\vec e)=-\overrightarrow{Id}(-\vec e)=\vec e$
Donc $\overrightarrow{f\circ g}$ est un demi-tour d'axe la droite vectorielle engendrée par $\vec e$.
4) Étant donnée la nature de l'isométrie vectorielle, si $f\circ g$ possède un point fixe, elle possède une droite fixe perpendiculaire à $P_1$ qui coupe $P_1$ en $A$.
Soit $B=t_{\vec u}(A)$ donc $g(A)=B$. Pour que $A$ soit un point fixe, il faut que $f(B)=A$. Compte-tenu de la nature de $f$, il faut que $A$ et $B$ soient symétriques par rapport à $O$ donc $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} \vec u$ ce qui détermine un unique point A.
$f\circ g$ a donc une droite fixe.
5) $f\circ g$ est le demi-tour par rapport à la droite perpendiculaire à $P_1$ en $A$ tel que $\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2} \vec u$
J'appelle $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. C'est donc une droite perpendiculaire à $D$ dans le plan $P_1$
1) On considère un repère orthonormé direct $(\vec x , \vec v, \vec w)$ avec $\vec x \in \overrightarrow{D}$, $\vec v \in \overrightarrow{\Delta}$, $\vec w \in \overrightarrow{P_2}$
$\overrightarrow{s_2}\circ \overrightarrow{r} (\vec x) =\overrightarrow{s_2} (\vec x)=-\vec x$
$\overrightarrow{s_2}\circ \overrightarrow{r} (\vec v) =\overrightarrow{s_2} (-\vec v)=-\vec v$
$\overrightarrow{s_2}\circ \overrightarrow{r} (\vec w) =\overrightarrow{s_2} (-\vec w)=-\vec w$
Par conséquent $\overrightarrow{f}=-\overrightarrow{Id}$
$O$ point d'intersection de $D$ et $\Delta$ est un point fixe. Par conséquent $f$ est la symétrie centrale de centre $O$.
$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{s_1}\circ \overrightarrow{Id}=\overrightarrow{s_1}$
Si $\vec u \neq \vec 0$, g ne possède pas de point fixe donc g est une réflexion glissée.
2) $r$ est un déplacement et $s_2$ un antidéplacement donc $f$ est un antidéplacement.
$t_{\vec u}$ est un déplacement et $s_1$ un antidéplacement donc $g$ est un antidéplacement.
La composée de 2 antidéplacements est un déplacement donc $f\circ g$ est un déplacement.
3) $\overrightarrow{f\circ g}=-\overrightarrow{Id}\circ \overrightarrow{s_1}$
$\overrightarrow{f\circ g}$ restreinte à $\overrightarrow{P_1}$ est égale à $-\overrightarrow{Id}|_{\overrightarrow{P_1}}$
Soit $\vec e$ appartenant à l'orthogonal de $\overrightarrow{P_1}$
$-\overrightarrow{Id}\circ \overrightarrow{s_1} (\vec e)=-\overrightarrow{Id}(-\vec e)=\vec e$
Donc $\overrightarrow{f\circ g}$ est un demi-tour d'axe la droite vectorielle engendrée par $\vec e$.
4) Étant donnée la nature de l'isométrie vectorielle, si $f\circ g$ possède un point fixe, elle possède une droite fixe perpendiculaire à $P_1$ qui coupe $P_1$ en $A$.
Soit $B=t_{\vec u}(A)$ donc $g(A)=B$. Pour que $A$ soit un point fixe, il faut que $f(B)=A$. Compte-tenu de la nature de $f$, il faut que $A$ et $B$ soient symétriques par rapport à $O$ donc $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} \vec u$ ce qui détermine un unique point A.
$f\circ g$ a donc une droite fixe.
5) $f\circ g$ est le demi-tour par rapport à la droite perpendiculaire à $P_1$ en $A$ tel que $\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2} \vec u$
Re: isométrie
bonjour,
merci je vais me concentrer pour comprendre la réponse
merci je vais me concentrer pour comprendre la réponse
Re: isométrie
je sais que si f est une translation alors sa partie linéaire est l'identité, mais je connais pas comment trouver la partie linéaire pour (la symétrie , la rotation) passer de l'affine au vectoriel et vise vers sa me pose vraiment des problème
Re: isométrie
Un site qui pourrait vous aider
http://wims.u-psud.fr/wims/wims.cgi?ses ... ck=tableau
http://wims.u-psud.fr/wims/wims.cgi?ses ... ck=tableau
Re: isométrie
très intéressant merci