EV normés

Aide sur les questions d'algèbres et géométries.
camillem
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EV normés

Message par camillem » 12 février 2022, 01:14

Bonjour,
Pouvez-vous m’aider à résoudre ce problème particulier
Merci
Pièces jointes
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JPB
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Re: EV normés

Message par JPB » 12 février 2022, 12:29

1. Soit $x_0\in E\setminus F$. Puisque $F$ est fermé on a $d(x_0, F)=\delta>0$.
Par définition d'une borne inférieure il existe $z_0\in F$ tel que $\delta\leq \|x_0-z_0\|≤2\delta$. On pose $x=\dfrac{1}{2\delta}(x_0-z_0)$.

On a $\|x\|\leq 1$ et pour tout $z\in F$, $\|x-z\|=\dfrac1{2\delta}\|x_0-z_0-2\delta z\|\geq \dfrac1{2\delta}d(x_0,F)=\dfrac12$ car $F$ est un sev donc $z_0+2\delta z\in F$.

2. $(i)\implies(ii)$ résulte du théorème de Borel-Lebesgue : en dimension finie toute partie fermée et bornée est compacte.
Montrons que $(ii)\implies(i)$. Pour cela on raisonne par contraposée en supposant $\dim E=+\infty$. On construit alors une suite de vecteurs $(x_n)$ à l'aide de la première question : on pose $x_0=0_E$ puis par récurrence on choisit $x_n$ vérifiant $\|x_n\|\leq 1$ et $d(x_n,F_n)\geq \dfrac12$ où $F_n=\text{vect}(x_0,\ldots,x_{n-1})$. Puisque les $F_n$ sont de dimensions finies on a toujours $F_n\subsetneq E$, ce qui assure la validité de la construction.
Ainsi définie la suite $(x_n)$ est dans $B$ mais ne peut posséder de sous-suite convergente car par construction, $i\ne j\implies\|x_i-x_j\|\geq \dfrac12$, donc $B$ n'est pas compacte.

Enfin, reste l'équivalence entre $(ii)$ et $(iii)$, qui n'est guère difficile à montrer : si une boule est compacte, toutes les boules le sont.

camillem
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Re: EV normés

Message par camillem » 12 février 2022, 12:43

Bonjour et merci

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