Bonjour à tous!
Dans ce problème, on note d tout entier naturel, Rd[X] l'ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à d et epsilon(d) l'application définie sur R par t --> t^d.
On note S: Rd[X]-->Rd[X] l'application définie par : pour tout (a_0,...,a_d) appartenant à R^(d+1) {S(somme de i=0 à i=d de a_i.epsilon(i)}={(somme de i=0 à i=d-1 de a_(i+1).epsilon(i)}
1ère partie:
I.1: montrer que S est un endomorphisme de Rd[X] ---> OK, pas de problème!
donner les images par S des vecteurs de la base (epsilon(0),...,epsilon(d)) : là par contre, je ne sais pas comment appliquer la définition de S pour trouver S(epsilon(0)), S(epsilon(1)),..., S(epsilon(k)) pour k appartenant à [0,d] ???
Merci pour votre aide!
[Agro-Véto] Algèbre linéaire
Re: [Agro-Véto] Algèbre linéaire
Bonjour
L'image de la fonction $t\to (a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots +a_dt^d)$ est la fonction $t\to a_1+a_2t+\cdots +a_dt^{d-1}$
Pour $\epsilon_0$ on a $a_0=1$, les autres coefficients étant nuls donc l'image est la fonction nulle.
Pour $\epsilon_1$ on a $a_1=1$, les autres coefficients sont nuls donc l'image est la fonction constante égale à 1.
Pour $\epsilon_k\ k\in [0,1]$ on a $a_k=1$, les autres coefficients sont nuls donc l'image est la fonction $t\to t^{k-1}$
Pour $\epsilon_d$ on a $a_d=1$, les autres coefficients sont nuls donc l'image est la fonction $t\to t^{d-1}$
L'image de la fonction $t\to (a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots +a_dt^d)$ est la fonction $t\to a_1+a_2t+\cdots +a_dt^{d-1}$
Pour $\epsilon_0$ on a $a_0=1$, les autres coefficients étant nuls donc l'image est la fonction nulle.
Pour $\epsilon_1$ on a $a_1=1$, les autres coefficients sont nuls donc l'image est la fonction constante égale à 1.
Pour $\epsilon_k\ k\in [0,1]$ on a $a_k=1$, les autres coefficients sont nuls donc l'image est la fonction $t\to t^{k-1}$
Pour $\epsilon_d$ on a $a_d=1$, les autres coefficients sont nuls donc l'image est la fonction $t\to t^{d-1}$