Bonsoir,
je n'arrive pas à repondre à cette question :
Soit I un intervalle et f ${\in} $ C(I, I). On suppose qu'il existe k${\in} $ ] 0,1 [ tq f est k-lipschitzienne(on dit que f est contractante).
Montrer que f admet un point fixe dans le cas I=R. Citer une autre situation bien connue où f admet un point fixe.
si vous pouviez m'aider svp
fonction contractante
Re: fonction contractante
Bonjour
Soit $a$ un réel. On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=a$ et $u_{n+1}=f(u_n)$
$\forall n \in {\mathbb N}^*,\ |u_{n+1}-u_n|=|f(u_n)-f(u_{n-1})|\leq k|u_n-u_{n-1}|$ puisque $f$ est contractante.
Par récurrence, on obtient : $|u_{n+1}-u_n|\leq k^n|u_1-u_0|$
Soit $n>m$. $|u_n-u_m|\leq |u_n-u_{n-1}|+\cdots |u_{m+1}-u_m|\leq k^{n-1}|u_1-u_0|+\cdots +k^m|u_1-u_0|$
$|u_n-u_m|\leq k^m|u_1-u_0|(k^{n-1-m}+\cdots +1)=k^m|u_1-u_0|\times \frac{1-k^{n-m}}{1k}\leq k^m|u_1-u_0|\times \frac{1}{1-k}$
$0<k<1$ donc $\lim_{n\to +\infty} k^m|u_1-u_0|\times \frac{1}{1-k}=0$.
La suite $(u_n)$ est donc une suite de Cauchy, par conséquent, elle converge dans ${\mathbb R}$. Soit $l$ sa limite.
$f$ étant continue, $f(l)=l$ et $l$ est donc un point fixe de $f$.
Autre cas : $I=[a,b]\subset {\mathbb R}$ $f$ fonction continue de $[a,b]$ sur $[a,b]$ admet au moins un point fixe.
Soit $a$ un réel. On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=a$ et $u_{n+1}=f(u_n)$
$\forall n \in {\mathbb N}^*,\ |u_{n+1}-u_n|=|f(u_n)-f(u_{n-1})|\leq k|u_n-u_{n-1}|$ puisque $f$ est contractante.
Par récurrence, on obtient : $|u_{n+1}-u_n|\leq k^n|u_1-u_0|$
Soit $n>m$. $|u_n-u_m|\leq |u_n-u_{n-1}|+\cdots |u_{m+1}-u_m|\leq k^{n-1}|u_1-u_0|+\cdots +k^m|u_1-u_0|$
$|u_n-u_m|\leq k^m|u_1-u_0|(k^{n-1-m}+\cdots +1)=k^m|u_1-u_0|\times \frac{1-k^{n-m}}{1k}\leq k^m|u_1-u_0|\times \frac{1}{1-k}$
$0<k<1$ donc $\lim_{n\to +\infty} k^m|u_1-u_0|\times \frac{1}{1-k}=0$.
La suite $(u_n)$ est donc une suite de Cauchy, par conséquent, elle converge dans ${\mathbb R}$. Soit $l$ sa limite.
$f$ étant continue, $f(l)=l$ et $l$ est donc un point fixe de $f$.
Autre cas : $I=[a,b]\subset {\mathbb R}$ $f$ fonction continue de $[a,b]$ sur $[a,b]$ admet au moins un point fixe.